高考数列题型及解题方法总结_高考数列专题复习

1.高一数学必修五数列复习提纲和资料

2.高三一轮数学数列复习作业题!!!急啊啊

3.高中二轮复习数学数列，急！！！

4.高一数列复习

5.怎么求等比数列，和等差数列的和

6.哪个大师 能帮我归纳一下高中数列知识 高三复习了 希望能用上 给分

a(n+1) = 2[s(n+1)]^2/[2s(n+1)-1] = s(n+1) - s(n), s(n)不为1/2。

2[s(n+1)]^2 = [s(n+1)-s(n)][2s(n+1) - 1] = 2[s(n+1)]^2 - 2s(n)s(n+1) - s(n+1) + s(n),

0 = 2s(n)s(n+1) + s(n+1)- s(n),

若s(n+1)=0,则s(n)=0, ..., s(1)=0,与s(1)=a(1)=1矛盾。

因此，s(n)不为0。

0 = 2 + 1/s(n) - 1/s(n+1),

1/s(n+1) = 1/s(n) + 2,

{1/s(n)}是首项为1/s(1) = 1/a(1) = 1,公差为2的等差数列。

1/s(n) = 1 + 2(n-1) = 2n-1.

s(n) = 1/(2n-1)

s(n+1) = 1/(2n+1).

a(n+1) = 2[s(n+1)]^2/[2s(n+1)-1] = [2/(2n+1)^2]/[2/(2n+1)-1]

= [2/(2n+1)^2](2n+1)/(1-2n)

= 2/[(1+2n)(1-2n)]

= 2/[1 - 4n^2]

a(1) = 1,

n>=2时，a(n) = 2/[ 1 - 4(n-1)^2]

n>=2时，a(n)<0单调递增。0 > a(n)>=a(2) = 2/[1-4] = -2/3.

因此，总有，

a(1)=1>0>=a(n)>=a(2) = -2/3.

数列的最大项为a(1)=1,最小项为a(2)=-2/3.

高一数学必修五数列复习提纲和资料

其实三角函数在高中数学中算是比较简单的。你最需要的是将公式记住，最重要的公式有cos(a+b)、sin(a+b)、cot(a+b)、tan(a+b)和sina^2+cosa^2=1，其他公式都是从这些公式而来，要学会自己推倒。熟记公式之后，剩下的就是做题，需要大量做题才可以巩固。

至于数列也是先要记住基本公式等差an=a1+(n-1)d、Sn=(a1+an)/2；等比数列an=a1q^(n-1)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q),公式的延伸还有an=Sn-Sn-1。至于其他的公式都是通过这些公式来推倒的。

数列的通项公式，如果an不是等差或者等比数列，那么就有必要构造新数列。有时候题目会给出提示，如列出an的关系式，之后求证1/an是等差数列，那么你就可以朝着这个方向努力。方法很多，我就不一一列举了。

数列求和，一般只有三种方法分组求和、裂项相消、错位相减。最难掌握的是裂项相消和错位相减。可以用裂项相消都有一个特点如an=1/(n-1)n=1/(n-1) -1/n,以后看到类似的就可以用这种方法。错位相减就是等差和等比数列的积所组成的数列，这两种求和方法必须熟练。当然多做题和学会将有代表性的题目记住，对以后解题是有相当大的帮助的

高三一轮数学数列复习作业题!!!急啊啊

数列

一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如

（1）已知 ，则在数列 的最大项为__

（答： ）；

（2）数列 的通项为 ，其中 均为正数，则 与 的大小关系为___

（答： ）；

（3）已知数列 中， ，且 是递增数列，求实数 的取值范围

（答： ）；

（4）一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意 ，由关系式 得到的数列 满足 ，则该函数的图象是 （）

（答：A）

A B C D

二．等差数列的有关概念：

1．等差数列的判断方法：定义法 或 。如

设 是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列 为等差数列。

2．等差数列的通项： 或 。如

(1)等差数列 中， ， ，则通项　　　

（答： ）；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______

（答： ）

3．等差数列的前 和： ， 。如

（1）数列 中， ， ，前n项和 ，则 ＝＿， ＝＿

（答： ， ）；

（2）已知数列 的前n项和 ，求数列 的前 项和

（答： ）.

4．等差中项：若 成等差数列，则A叫做 与 的等差中项，且 。

提醒：

（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…， …（公差为 ）；偶数个数成等差，可设为…， ,…（公差为2 ）

三．等差数列的性质：

1．当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；前 和 是关于 的二次函数且常数项为0.

2．若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。

3．当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 .如

（1）等差数列 中， ，则 ＝____

（答：27）；

（2）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项和，则

A、 都小于0， 都大于0

B、 都小于0， 都大于0

C、 都小于0， 都大于0

D、 都小于0， 都大于0　

（答：B）

4．若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、 、 ，…也成等差数列，而 成等比数列；若 是等比数列，且 ，则 是等差数列. 如

等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。

（答：225）

5．在等差数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， ， （这里 即 ）； 。如

（1）在等差数列中，S11＝22，则 ＝______

（答：2）；

（2）项数为奇数的等差数列 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数

（答：5；31）.

6．若等差数列 、 的前 和分别为 、 ，且 ，则

.如

设{ }与{ }是两个等差数列，它们的前 项和分别为 和 ，若 ，那么 ___________

（答： ）

7．“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如

（1）等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若 是等差数列，首项 ，

，则使前n项和 成立的最大正整数n是

（答：4006）

8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 .

四．等比数列的有关概念：

1．等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或

。如

（1）一个等比数列{ }共有 项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则 为____

（答： ）；

（2）数列 中， =4 +1 ( )且 =1，若 ，求证：数列｛ ｝是等比数列。

2．等比数列的通项： 或 。如

设等比数列 中， ， ，前 项和 ＝126，求 和公比 .

（答： ， 或2）

3．等比数列的前 和：当 时， ；当 时， 。如

（1）等比数列中， ＝2，S99=77，求

（答：44）；

（2） 的值为__________

（答：2046）；

特别提醒：等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比 是否为1，再由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为1时，要对 分 和 两种情形讨论求解。

4．等比中项：若 成等比数列，那么A叫做 与 的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 。如已知两个正数 的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…， …（公比为 ）；但偶数个数成等比时，不能设为… ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

（1）当 时，则有 ，特别地，当 时，则有 .如

（1）在等比数列 中， ，公比q是整数，则 =___

（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列 中，若 ，则

（答：10）。

(2) 若 是等比数列，则 、 、 成等比数列；若 成等比数列，则 、 成等比数列； 若 是等比数列，且公比 ，则数列 ，…也是等比数列。当 ，且 为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如

（1）已知 且 ，设数列 满足 ，且 ，则　　　　.

（答： ）；

（2）在等比数列 中， 为其前n项和，若 ，则 的值为______

（答：40）

(3)若 ，则 为递增数列；若 , 则 为递减数列；若 ，则 为递减数列；若 , 则 为递增数列；若 ，则 为摆动数列；若 ，则 为常数列.

(4) 当 时， ，这里 ，但 ，这是等比数列前 项和公式的一个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数列。如若 是等比数列，且 ，则 ＝

（答：－1）

(5) .如设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，则 的值为?_____

（答：－2）

(6) 在等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， .

(7)如果数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数数列 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设

数列 的前 项和为 （ ）， 关于数列 有下列三个命题：①若 ，则 既是等差数列又是等比数列；②若 ，则 是等差数列；③若 ，则 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是

（答：②③）

五.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列 试写出其一个通项公式：__________

（答： ）

⑵已知 （即 ）求 ，用作差法： 。如

①已知 的前 项和满足 ，求

（答： ）；

②数列 满足 ，求

（答： ）

⑶已知 求 ，用作商法： 。如数列 中， 对所有的 都有 ，则 ______

（答： ）

⑷若 求 用累加法：

。如已知数列 满足 ， ，则 =________

（答： ）

⑸已知 求 ，用累乘法： 。如已知数列 中， ，前 项和 ，若 ，求

（答： ）

⑹已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 。如①已知 ，求 （答： ）；②已知 ，求 （答： ）；（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知 ，求 （答： ）；②已知数列满足 =1， ，求 （答： ）

注意：（1）用 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（ ，当 时， ）；（2）一般地当已知条件中含有 与 的混合关系时，常需运用关系式 ，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解。如数列 满足 ，求 （答： ）

六.数列求和的常用方法：

1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式： ， ， .如

（1）等比数列 的前 项和Sn＝2n－1，则 ＝_____

（答： ）；

（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如 表示二进制数，将它转换成十进制形式是 ，那么将二进制 转换成十进制数是_______

（答： ）

2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求： （答： ）

3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）. 如

①求证： ；

②已知 ，则 ＝______

（答： ）

4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）.

如（1）设 为等比数列， ，已知 ， ，①求数列 的首项和公比；②求数列 的通项公式.（答：① ， ；② ）；

（2）设函数 ，数列 满足：

，①求证：数列 是等比数列；②令

，求函数 在点 处的导数 ，并比较 与 的大小。（答：①略；② ，当 时， ＝ ；当 时， < ；当 时， > ）

5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

① ； ② ；

③ ， ；

④ ；⑤ ；

⑥ .

如（1）求和：

（答： ）；

（2）在数列 中， ，且Sn＝9，则n＝_____

（答：99）；

6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如

①求数列1×4，2×5，3×6，…， ，…前 项和 =

（答： ）；

②求和：

（答： ）

七．“分期付款”、“森林木材”型应用问题

1．这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

2．利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金 元，每期利率为 ，则 期后本利和为：

（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款） 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分 期还清。如果每期利率为 （按复利），那么每期等额还款 元应满足： （等比数列问题）.

高中二轮复习数学数列，急！！！

an=a^(n-1)+a^n+……+a^(2n-2)

(1) a=0 Sn=1

(2) a=1

an=n Sn=n(1+n)/2

(3)a≠0,1

an=a^(n-1)*(1-a^n)/(1-a)=(a^(2n-1)-a^(n-1))/(a-1)

Sn=[(a^1+a^3+a^5+……+a^(2n-1))-(1+a+a^2+a^3+……+a^(n-1))]/(a-1)

=[a(1-a^2n)/(1-a^2)-(1-a^n)/(1-a)]/(a-1)

=[a^(2n+1)-a^n-a^(n-1)+1]/[(1-a^2)(1-a)]

高一数列复习

Sn=1/2+4/4+…+n^2/2^n

Sn/2= 1/4+...+(n-1)^2/2^n+n^2/2^(n+1)

相减Sn/2=1/2+3/4+5/8+…+（2n-1）/2^n+n^2/2^(n+1)

Sn/4= 1/4+3/8+ +(2n-3)/2^n++(2n-1)/2^(n+1)+n^2/2^(n+2)

再相减Sn/4=

怎么求等比数列，和等差数列的和

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这个网站我刚才找到的，貌似里面东西很多，我下载了一个数列的习题，WORD可以打开。就是不知道怎么发给你哦！要不然你自己去那里下载也可以！

三、解答题

1、在等差数列{an}中,a1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有an的和,

(1)70≤n≤200;(2)n能被7整除.

2、设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12, S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差d的取值范围；

(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.

3、数列{ }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为 ,求 的最大值;(3)当 是正数时,求n的最大值.

4、设数列{ }的前n项和 .已知首项a1=3,且 + =2 ,试求此数列的通项公式 及前n项和 .

5、已知数列{ }的前n项和 n(n＋1)(n＋2),试求数列{ }的前n项和.

6、已知数列{ }是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设 =0(i=1,2,3,…)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;

(2)设这些方程的另一个根为 ,求证 , , ,…, ,…也成等差数列.

7、如果数列{ }中,相邻两项 和 是二次方程 =0(n=1,2,3…)的两个根,当a1=2时,试求c100的值.

8、有两个无穷的等比数列{ }和{ },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有 ,试求这两个数列的首项和公比.

9、有两个各项都是正数的数列{ },{ }.如果a1=1,b1=2,a2=3.且 , , 成等差数列, , , 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.

10、若等差数列{log2xn}的第m项等于n，第n项等于m(其中m?n)，求数列{xn}的前m＋n项的和。

答案

三、解答题

1、 解： a1=－250, d=2, an=－250+2(n－1)=2n－252

同时满足70≤n≤200, n能被7整除的an构成一个新的等差数列{bn}.

b1=a70=－112, b2=a77=－98,…, bn′=a196=140

其公差d′=－98－(－112)=14. 由140=－112+(n′－1)14, 解得n′=19

∴{bn}的前19项之和 .

2、解： (Ⅰ)依题意,有

，即

由a3=12,得 a1=12－2d (3)

将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，∴ .

(Ⅱ)由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.

因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.

由于 S12=6(a6+a7)＞0, S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0.

由此得 a6＞－a7＞0.因为a6＞0, a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.

3、 (1)由a6=23＋5d＞0和a7=23＋6d＜0,得公差d=－4.(2)由a6＞0,a7＜0,∴S6最大, S6=8.(3)由a1=23,d=－4,则 = n(50－4n),设 ＞0，得n＜12.5,整数n的最大值为12.

4、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6. 由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1) Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)

(2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1

即 an+2=3an+1

此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=

此数列的前n项和为Sn=3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n – 1=3＋ =3n.

5、 = － = n(n＋1)(n＋2)－ (n－1)n(n＋1)=n(n＋1).当n=1时，a1=2,S1= ×1×(1＋1)×(2＋1)=2,∴a1= S1.则 ＝n(n＋1)是此数列的通项公式。∴ ＝1－ ＝ .

6、 (1)设公共根为p,则 ① ②则②-① ,得dp2+2dp+d=0,d≠0为公差,∴(p＋1)2=0.∴p=－1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为－1).(2)另一个根为 ,则 ＋(－1)= .∴ +1= 即 ,易于证明{ }是以－ 为公差的等差数列.

7、解由根与系数关系, ＋ =－3n,则( ＋ )－( ＋ )=－3,即 － =－3.∴a1,a3,a5…和a2,a4,a6…都是公差为－3的等差数列,由a1=2,a1+a2=－3,∴a2=－5.则 =－3k－2,∴a100=－152, =－3k＋5,∴a101=－148,∴c100= a100 a101=22496

8、设首项分别为a和b,公比q和r. 则有 .依据题设条件,有 =1,① =2,② ,③ 由上面的①,②,③ 可得(1－q)2 =2(1－r) .令n=1,有(1－q)2=2(1－r),④设n=2.则有(1－q)2q2=2(1－r)r,⑤ 由④和⑤,可得q2=r,代入④ 得(1－q)2=2(1－q2).由于q≠1,∴有q= ,r = .因此可得a=1－q= ,b=2(1－r)= .

∴ 和 经检验,满足 的要求.

9、依据题设条件,有 由此可得 = .∵ ＞0,则2 。∴{ }是等差数列.∴ = .

又 = ,∴ =

10、2m+n-1

哪个大师 能帮我归纳一下高中数列知识 高三复习了 希望能用上 给分

以下为 等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧 文本内容，如需完整资源请下载。

高考专题复习三——等差与等比数列

等差与等比数列是最重要且应用广泛的有通项公式的数列，在高考中占有重要地位，成为每年必考的重点内容，这部分内容的基础知识有：等差、等比数列的定义及通项公式，前几项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。

考纲要求：掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式，前几项和公式并能运用知识解决一些问题。

一、知识结构与要点：

等差、等比数列的性质推广

定义

通项 —等差中项 abc成等差

基本概念 推广

前n项和

等差数列

当d>0(<0) 时{为递增（减）数列

当d=0时为常数

基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等

中共成等差则也成等

定义:

通项 等比中项：a b c成等比数列

基本概念 推广

前n项和

等比数列

与首末两端等距离的两项之积相等

成等比，若 成等差 则 成等比

基本性质 当 或 时 {为递增数列

当 或 时 {为递减数列

当 q<0时 {为摆动数列

当 q=1时 {为常数数列

二、典型例题

例1．在等差数列中 求

解法一

那么

解法二：由

点评：在等差数列中，由条件不能具体求出和d，但可以求出 与d的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出

（2）利用：将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用和 d表示更简捷。

例2．等差数列前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为

解法一 用方程的思想，由条件知

也成等数列

由②Χ2-①得

代入

解：在等差数列中由性质知 成等差数列

解法三 等差数列中

即为以为首项公差为的等差数列 依题意条件知

成等差

点评：三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。

例3 在等比数列中 求

分析：在等比数列中对于 五个量一般“知三求二”其中首项5元比是关键，

因此

解法一

又

则

解法二: 而

代入 中得

故

点评：根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。

例4．在等差数列 中 等比数列中

则

解：

点评：此题也可以把和d 看成两个未知数，通过 列方程，联立解之d= 。再求出 但计算较繁，运用计算较为方便。

例5．设等差数列 前n项和为已知

（1）求公差d的范围 （2）指出中哪一个值最大，并说明理由

解：（1）由题义有

由 则代入上式有

(2d<0 所以最小时最大 当时

所以 当n=6 时最小 故 最大

点评：本题解法体现了函数思想在处理数列问题中的运用，判断数列随N增大而变化规律的方法与判断函数增减性的方法相同。

例6 已知a>0 数列是首项5元比都为a的等比数列，(n如果数列中每一项总小于它后面的项，求a的取值范围。

解：由已知有 所以

因此由题意 对任意 成立 即

即 对任总成立，由 知

那么 由 a>0 知 或

即（Ⅰ） 或 （Ⅱ）

由Ⅰ知 a>1 中Ⅱ 为递增的函数 所以

故a的取值范围为或 a>1

点评：这是道数列与不等式综合的题目，既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值的观点来解决问题，同时还要判断函数 的单调性，具有一定的综合性。

高考专题复习三——数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

3、

4、

5、

[例1] 已知，求的前n项和.

解：由 由等比数列求和公式得

（利用常用公式）＝＝＝1－

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）

∴ ＝＝＝

∴当，即n＝8

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：………………①

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}{}的通项之积

设……. ②（设制错位）

①－②得 （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

[例4] 求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设………………①

………………②（设制错位）

①－②得（错位相减）

∴

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例5] 求证：

证明： 设………①

把①式右边倒转过来得

（反序）

又由可得 ……..②

①+②得 （反序相加）∴

[例6] 求的值

解：设…①

将①式右边反序得

…②（反序）

又因为 ①+②得（反序相加）

＝89 ∴ S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和：，…

解：设 将其每一项拆开再重新组合得

（分组）

当a＝1＝（分组求和）

当时，＝

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设 ∴＝

将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝（分组）＝＝（分组求和）＝

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1） （2）

（3） （4）

（5）

(6)

[例9] 求数列的前n项和.

解：设 （裂项）

则 （裂项求和）

＝＝

[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

解：∵ ∴ （裂项）

∴ 数列{bn}的前n项和

（裂项求和）＝＝

[例11] 求证：

解：设

由 （裂项）

∴ （裂项求和）

＝

＝＝＝ ∴原等式成立

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1 cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵（找特殊性质项）

∴Sn＝cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0

[例13] 数列{an}：，求S2002.

解：设S2002＝

由可得

……

∵（找特殊性质项）

∴S2002＝ （合并求和）

＝

＝

＝

＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值.

解：设

由等比数列的性质 （找特殊性质项）

和对数的运算性质 得

（合并求和）

＝

＝

＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求之和.

解：由于 （找通项及特征）

∴

＝（分组求和）

＝＝＝

[例16]已知数列{an}：的值.

解：∵ （找通项及特征）

＝（设制分组）

＝ （裂项）

∴ （分组、裂项求和）

＝＝

高考专题复习练习三——等差与等比数列

1(北京)已知数列中，，为数列的前n项和，且与的一个等比中项为，则的值为（ ）

（A） （B） （C） （D）1

2（黄冈）在等差数列{an}中，a1 + a2 + … + a50 = 200，a51 + a52 + … + a100 = 2700，则a1等于（ ）

（A）－1221 （B）－21.5 （C）－20.5 （D）－20

3（合肥）数列满足 若，则（ ）

(A) (B) (C) (D)

4（北京）在数列中，则此数列前4项之和为中， ，公差d<0，前n项和是，则有（ ）

（A） （B） （C） （D）

6(北京)等差数列{a n}中，已知，a2＋a5=4，a n =33，则n为（ ）

A、48 B、49 C、50 D、51

满足是首项为1，公比为2的等比数列，则_________________。

8、已知数，则的值依次是_________________，=___________________.

9、若数列满足，且，则的值为______________。

10、（天津）设数列是等差数列，且a2a4+a4a6+a6a2=1，，则a10 =____________．

11、在等差数列｛an｝中，a1=,第10项开始比1大，则公差d的取值范围是___________.

12、（本题满分14分）

已知函数f (x)=－3x＋3，x∈

(1)求f (x)的反函数y=g (x)；

(2)在数列{a n}中，a1=1，a2=g (a1)，a3=g (a2) ，…an=g (an－1)

求证：数列是等比数列. (3)解关于n的不等式：12分）

已知数列的首项（a是常数），（）．

（Ⅰ）是否可能是等差数列.若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅱ）设，（），为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a、b满足的条件．

高考专题复习练习三——等差与等比数列答案

1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.C 7. 8. 1 9.102 10．

11.

1、基本量法求等差等比数列的通项公式，前n项和

2,、知道前n项和求通项

3、会用累加，累乘求通项

4、会用裂项相消，错位相减求前n项和

5、会用定义证明等差等比数列