最短路径选择题_最短路径高考

1.为何学生减负困难重重？因为有这三个无法改变的现实

2.数据结构讲的是什么

3.大学生考研好吗？

4.大学生当兵有什么好处？

5.考研的利与弊有哪些？

6.排列组合题

夹逼定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

泰勒中值定理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

①平行于同一直线的两直线平行（平行公理）

②线面平行，经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行；

③两平面平行，被第三个平面截得的两条交线互相平行；

④垂直于同一平面的两直线平行.

①夹角是直角的两直线垂直；

②线面垂直，则此直线垂直于此平面内任意一条直线；

③三垂线定理、逆定理.

射影定理等等

为何学生减负困难重重？因为有这三个无法改变的现实

1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）

A、81 B、64 C、12 D、14

2、n∈N且n<55，则乘积（55-n）（56-n）……（69-n）等于（）

A、 B、 C、 D、

3、用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（）

A、64 B、60 C、24 D、256

4、3张不同的**票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（）

A、2160 B、120 C、240 D、720

5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且

合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（）

A、 B、 C、 D、

6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）

A、 B、 C、 D、

7、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（）

A、24 B、36 C、46 D、60

8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，

其中甲不能担任正班长，乙不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是（）

A、 B、

C、 D、

答案：

1-8 BBADCCBA

一、填空题

1、（1）（4P84+2P85）÷（P86-P95）×0！=___________

（2）若P2n3=10Pn3，则n=___________

2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中，取出三个不同元素的排列为

__________________________________________________________________

3、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有_________种不同排法。

4、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币可以组成

_________种不同币值。

二、解答题

5、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，

（1）在下列情况，各有多少个？

①奇数

②能被5整除

③能被15整除

④比35142小

⑤比50000小且不是5的倍数

6、若把这些五位数按从小到大排列，第100个数是什么？

1 × × × ×

1 0 × × ×

1 2 × × ×

1 3 × × ×

1 4 × × ×

1 5 0 2 ×

1 5 0 3 2

1 5 0 3 4

7、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？

（1）甲排头

（2）甲不排头，也不排尾

（3）甲、乙、丙三人必须在一起

（4）甲、乙之间有且只有两人

（5）甲、乙、丙三人两两不相邻

（6）甲在乙的左边（不一定相邻）

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序

（8）甲不排头，乙不排当中

8、从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数

（1）这样的三位数一共有多少个？

（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？

（3）所有这些三位数的和是多少？

答案：

一、

1、（1）5

（2）8

二、

2、abc,abd,acd,bac,bad,bcd,cab,cad,cbd,dab,dac,dbc

3、8640

4、39

5、

①3× =288

②

③

④

⑤

6、

=120 〉100

=24

=24

=24

=24

=2

7、（1） =720

（2）5 =3600

（3） =720

（4） =960

（5） =1440

（6） =2520

（7） =840

（8）

8、（1）

（2）

（3）300×（100+10+1）=33300

排列与组合练习

1、若 ，则n的值为（ ）

A、6 B、7 C、8 D、9

2、某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学

生均不少于2人的选法为（ ）

A、 B、

C、 D、

3、空间有10个点，其中5点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不

同平面的个数是（ ）

A、206 B、205 C、111 D、110

4、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）

A、 B、 C、 D、

5、由5个1，2个2排成含7项的数列，则构成不同的数列的个数是（ ）

A、21 B、25 C、32 D、42

6、设P1、P2…，P20是方程z20=1的20个复根在复平面上所对应的点，以这些点为顶

点的直角三角形的个数为（ ）

A、360 B、180 C、90 D、45

7、若 ，则k的取值范围是（ ）

A、[5，11] B、[4，11] C、[4，12] D、4，15]

8、口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球，每次取出4个球，取出一个线球记2

分，取出一个白球记1分，则使总分不小于5分的取球方法种数是（ ）

A、 B、

C、 D、

答案：

1、B 2、D 3、C 4、A 5、A 6、B

7、B 8、C

1、计算：（1） =_______

（2） =_______

2、把7个相同的小球放到10个不同的盒子中，每个盒子中放球不超1个，则有_______

种不同放法。

3、在∠AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，加上O点共12个点，以这12个点为顶

点的三角形有_______个。

4、以1，2，3，…，9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有_______种

不同取法。

5、已知

6、（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？

（2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？

（3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？

7、集合A中有7个元素，集合B中有10个元素，集合A∩B中有4个元素，集合C满足

（1）C有3个元素；（2）C A∪B；（3）C∩B≠φ，C∩A≠φ，求这样的集合C的个

数。

8、在1，2，3，……30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和为3的倍数，

共有多少种不同的取法？

答案：

1、490

2、31

3、165

4、60

5、解：

6、解：（1）

（2）

（3）58+48=106

7、解：A∪B中有元素 7+10-4=13

8、解：把这30个数按除以3后的余数分为三类：

A={3，6，9，…，30}

B={1，4，7，…，28}

C={2，5，8，…，29}

（个）

　高二?排列与组合练习题（1）

一、选择题：

1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）

A．81 B．64 C．12 D．14

2、n∈N且n<55，则乘积（55－n）（56－n）……（69－n）等于（ ）

A． B． C． D．

3、用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（ ）

A．64 B．60 C．24 D．256

4、3张不同的**票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（ ）

A．2160 B．120 C．240 D．720

5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（ ）

A． B． C． D．

6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）

A． B． C． D．

7、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（ ）

A．24 B．36 C．46 D．60

8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，

其中甲不能担任正班长，乙不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

9、（1）（4P84+2P85）÷（P86－P95）×0！=___________

（2）若P2n3=10Pn3，则n=___________

10、从A．B．C．D这四个不同元素的排列中，取出三个不同元素的排列为__________________

11、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有_________种不同排法。

12、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币可以组成_________种不同币值。

三、解答题

13、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，

（1）在下列情况，各有多少个？

①奇数，②能被5整除，③能被15整除

④比35142小，⑤比50000小且不是5的倍数

（2）若把这些五位数按从小到大排列，第100个数是什么？

14、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？

（1）甲排头；

（2）甲不排头，也不排尾；

（3）甲、乙、丙三人必须在一起；

（4）甲、乙之间有且只有两人；

（5）甲、乙、丙三人两两不相邻；

（6）甲在乙的左边（不一定相邻）；

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序；

（8）甲不排头，乙不排当中。

15、从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数。

（1）这样的三位数一共有多少个？

（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？

（3）所有这些三位数的和是多少？

高二数学

排列与组合练习题

参考答案

一、选择题：

1．B

2．B

3．A

4．D

5．C

6．C

7．B

8．A

二、填空题

9．（1）5；（2）8

10．abc，abd，acd，bac，bad，bcd，cab，cad，cbd，dab，dac，dbc

11．8640

12．39

三、解答题

13．（1）①3× =288

②

③

④

⑤

（2）略。

14．（1） =720

（2）5 =3600

（3） =720

（4） =960

（5） =1440

（6） =2520

（7） =840

（8）

15．（1）

（2）

（3）300×（100+10+1）=33300

例1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒 ，则不同的选购方式共有 ( )

(A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种

解法一 记购买的软件数为x，磁盘数为y，依题意

当x＝3时，y＝2，3，4；当x＝4时，y＝2，3；当x＝5时，y＝2；当x＝6时，y＝2.上述的不等式组共有7组解，故不同的选购方式共有7种，选C．

解法二 依题意，(x，y)是在坐标平面上，位于三条直线L1：x＝3，L2：y＝2，L3：60x＋70y=500围成的三角形的边界及内部的点(坐标均为整数的点)，如图7－2－1，这样的点共有7个，故选C．

评述 这是一个计数的应用问题，解法一转化为求不等式组的整数解的个数；解法二转化求坐标平面上特定区域内的整点个数．事实上，两种解法最终都采用了穷举法．这是解决计数问题的基本方法之一．

例2．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄,为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？

× ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○ ○

× ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○

× ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ×

○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○

○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ×

○ ○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ×

解法一 如表格所示，用×表示种植作物的地垄，О表示未种植作物的地垄，则不同的选垄方法共有6种，由于A、B是两种作物，故不同的种植方法共有12种．

解法二 选垄方法可分为三类：第一类间隔为6垄，有1－8，2－9，3－10三种选法；第二类间隔为7垄，有1－9，2－10两种选法；第三类间隔为8垄，只有1－10种选法，故选垄方法共6种，种植方法共12种．

评述 这是一个计数的应用问题，解法一采用了画框图的方法；解法二直接应用加法原理和乘法原理．

若将例1和例2判定为排列与组合的问题，并布列含排列数或组合数的算式，反而会将对问题的思考复杂化，难以得出正确的结论，由此可见，不应把计数问题都简单归结为排列和组合的问题，也不能只通过计算排列数或组合数求解．

例3．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数．

(1)甲排中间；

(2)甲不排在两端；

(3)甲、乙相邻；

(4)甲在乙的左边(不一定相邻)；

(5)甲、乙、丙两两不相邻．

解：(1)甲排中间，其余6人任意排列，故共有 ＝720种不同排法．

(2)若甲排在左端或右端，各有 种排法，故甲不排在两端共有 ＝3600种不同排法．

(3)法一：先由甲与除乙以外的5人(共6人)任意排列，再将乙排在甲的左侧或右侧(相邻)，故共有 ? ＝1440种不同排法．

法二：先将甲、乙合成为一个“元素”，连同其余5人共6个“元素”任意排列，再由甲、乙交换位置，故共有 ? ＝1440种不同排法．

(4)在7人排成一行形成的 种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的排法是一一对应的(其余各人位置不变)，故甲在乙的左边的不同排法共有 ＝2520种不同解法．

(5)先由除甲、乙、丙以外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”，再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，每“空”1人，故共有 ＝1440种不同的排法．

评述 这是一组排队的应用问题，是一类典型的排列问题，附加的限制条件常是定位与限位，相邻与不相邻，左右或前后等．

例4．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：

(1)5的倍数；

(2)比20300大的数；

(3)不含数字0，且1，2不相邻的数．

解：(1)5的倍数可分为两类：个位数的位置上的数字是0或5，

个位数字是0的五位数有 个；

个位数字是5的五位数有4 个；

故5的倍数共有 ＋4 ＝216个

(2)比20300大的五位数可分为三类：

第一类：3××××，4××××，5××××；有3 个；

第二类：21×××，23×××，24×××，25×××，有4 个；

第三类：203××，204××，205××，有3 个．

故比20300大的五位数共有3 ＋4 ＋3 ＝474个．

(3)组成不含数字0，且1，2不相邻的数可分为两步，第一步：将3，4，5三个数字排成一行；第二步：将1，2插入第一步所形成四个“空”中的两个“空”，故共有 ＝72个．

评述 这是一组组成无重复数字的多位数的排数问题，也是一类典型的排列问题，常见的附加条件是倍数关系，大小关系、相邻关系等．应当注意的是排队问题不会有元素重复的问题，而排数问题必须规定无重复数字才是排列问题．

例5 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有 ( )

(A) 150种 (B) 147种 (C) 144种 (D) 141种

分析 取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．

解 在10个点中任取4点，有 种取法，取出的4点共面有三类(如图7－2－3)．

第一类：共四面体的某一个面，有4 种取法；

第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE，有6种取法；

第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM，共有3个．

故取4个不共面的点的不同取法共有 －(4 ＋6＋3)＝141(种)

因此选D

评述 由点组成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，常见的附加条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等．

例6 (1)设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，这样的投放方法的总数为 ；

(2)四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共

有 种．

解(1)第一步：投放2个球，使其编号与盒子编号相同，有 种投法；第二步：投入其余3个球，以第一步的投法是1，2号球投入1，2号盒子内为例，其余3个球由于不能再出现球号与盒号相同的投法，如框图所示有2种投法．

④

⑤

③

⑤

③

④

3 4 5 3 4 5

综上可知，符合题意的投放方法共有 ×2＝20种．

(2)第一步：取出两个小球( 种取法)合成一个“元素”，与另外两个球合成三个“元素”；第二步：将3个元素放入4个盒中的3个盒子，每个盒子放一个元素，形成一个空盒( 种放法)，故符合题意的放法共有 ? ＝144种．

评述 这是一组具有一定综合性的计数问题，应当注意，第(1)题如果判定第二步余下3球可任意放入余下3 个盒子，列出 ? 的算式，就会出错．

数据结构讲的是什么

学生减负的问题一直以来都是一个令广大家长头疼不已的问题，现在很多初高中学生每天写作业到12点早已成为常态化，而每天基本5点半就要起床，睡眠时间不足6小时。在如此高强度的学习压力下，学生除了学习基本上没有任何休闲娱乐时间。

对于这一问题国家和地方都制定了一些相关政策来减轻孩子的负担、而从过去的一些减负措施来看，效果可谓不尽人意，孩子一直没有实现真正意义上的减负，甚至孩子们的负担“愈减愈重”。为中小学“减负”的问题也得到了全国政协委员的关注，并联名提交减负提案，希望减轻全国中小学生的作业负担，让孩子可以轻松快乐的成长。

学生减负为何困难重重？教育部下达的减负政策为何难以得到真正实施？其实不是学校家长不想减负，而是不能减负，而造成这种现状主要有以下这三种原因：

无数次教育大会上都会反复强调“不以分数论英雄”，然而这句话却从来没有落实过，仅仅是纸上谈兵。无论在老师还是家长眼中，分数高的学生都会被定义成“好学生”，而分数低的学生会被贴上“差生”、“坏学生”的标签。这种一刀切的做法可以说一直持续几十年，到现在仍然是学校的主流，而这一现象的并不能把全部责任归咎于教师或家长。

我们知道在中考和高考中，学校录取都是按照分数的高低来录取的，分数高的学生会考进好的学校，进入好的班级，甚至享受全面免学费住宿费学杂费等的优厚待遇。并且好的学校会给学生提供一个开阔的平台，例如每年去清华大学招聘的企业基本都是世界500强，而去普通二本大学招聘的企业基本都是中小型企业。并且国企央企以及事业单位都会要求学历是双一流，不得不说中考高考的那一次分数，确实间接决定了你以后未来的命运走向。

当然不止中考、高考，在考研、公务员考试、英语四六级考试、国企招聘中等，都是以考试成绩作为通过的重要指标，只有笔试成绩合格后才能进行下一步筛选。所以就目前来说考试分数无论对于那种考核或者人才招聘，都是是极其重要的条件，是考核人才最主要的标准！

著名企业家罗永浩曾说过自己在天津求职的一段心酸经历，很多单位招聘都要求本科以上的学历，只有高中学历的他，在求职时处处碰壁。有一天他在报纸上看到了一家单位招聘白领，而招聘一栏里并没有提学历要求，他当时高兴极了，并马上到该家公司应聘。当公司人力主管询问他的学历证书时，罗永浩拿出来自己高中毕业证说“这就是我的学位证书”，人力主管十分诧异的说“我们只要本科以上学历的！”

罗永浩便拿出那份报纸说“你们公司在招聘时并没有提学历要求”，人力主管随即说“对不起，那可能是我们弄错了，应该是投放广告那边发现字数超了，就把学历要求这部分删去了。向你表示歉意，但是招聘就算了，你走吧！”这件事让罗永浩深刻认识到了学历的重要性，所以每当学生想要退学时，罗永浩都会反复叮嘱他要慎重，千万不要意气用事，学历是非常重要的。

其实很多单位要求高学历并不是一种歧视，就和罗永浩说的那样，上过大学的人从概率上优秀人才的比率远高于没上过大学的人。任何单位都想要节约时间成本，节约人力成本，没有人愿意花大价钱从学历低的人中挑选人才。学历无论何时都是非常重要的，他是你找工作的敲门砖，没有这块敲门砖你连展示才能的机会都没有！

所以请不要抱怨学历歧视，这只是企业选拔人才必要的手段和方式。这样我们就不难理解某大学招聘保安时学历要求是硕士以上、某小学教师要求博士学历、很多部门的公务员都是本科以上学历等等。而要拥有高学历就需要我们努力学习， 考一个理想的学校，让自己在未来的竞争中占据有利地位。

近几日一位中科院博士毕业论文致谢信火遍全网，让人读完潸然泪下，该博士出生在家境贫寒的农村，母亲在他12岁时不要他了，17岁时父亲交通事故离世。家庭的重担世间的磨难全部压在他瘦弱的肩膀上，但他并没有自暴自弃，而是用读书来慰藉自己的人生，通过20余年的刻苦学习，终于使他实现了阶层的跨越，成功扼住了命运的喉咙。

白岩松曾经说过“没有高考，你们拼得过富二代吗？”不得不说学习是改变命运的最快方法，也是唯一一次让你可以和富二代在一起学习，在一起畅谈人生的机会。在学校里你基本不会感觉到阶层的差距，好的学校也会为你提供更多展示才能的机会，会提供非常多的专家讲座会。这些财富会大大拓宽你的视野，为你日后的成长提供强有力的帮助和指导。

或许经常有人说“我不念书也一样成功”，“学历不等于能力”，以及那句最出名的“你大学毕业后给你初中毕业的同学打工”，这些言论最后都形成了所谓的“读书无用论”。不得不说本人在念大学期间，有一段时间就深陷“读书无用论”的泥潭，认为“百无一用是书生”，感觉念大学不如早早出外打工。幸好当时父母和朋友的极力劝阻，才让我打消了这个念头，最后顺利毕业并考上研究生。

让我真正感觉读书有用是在工作之后，读书确实不一定能让你过得更好，但是它确实能让你拥有更多选择的机会。假如你是名校博士毕业，你可以选择当大学老师、可以选择进科研所、可以选择考公务、可以选择进国企央企等等，并且各个城市都会有人才引进政策，给予购房补贴、生活补贴等等。

而如果你是高中毕业，那么不得不说这个社会对荒废学业人的惩罚是毫不吝啬的，对于老师、公务员、各大名企等等职业都将与你无缘。只能找那些不需要学历的工作，而那些工作往往是干着最累的活却拿着最低的工资。这不仅仅影响了你的一辈子，而且也间接影响了下一代，你无法辅导下一代的学业，很难有时间和他们畅谈理想指导他们的生活。

读书使人进步，它是让你实现理想最快捷的方法，让你开阔视野最方便的途径。对比其他道路，读书终究还是实现阶层跨越的最短路径！ 请珍惜每一天学习的机会，它将是未来驱散黑暗的明灯！

学生减负做到作业不出校门，这一口号已经喊了很多年，可实施起来一直不理想，甚至在很多地方被当成了一纸空文。这主要与现实社会的人才选拔制度有着密切的关系，我们要理性减负，减少一些不必要的作业，但我们仍然要鼓励学生努力刻苦学习，一点也能放松，学习毕竟是通往成功道路的最快途径，也是提升自己文化知识水平的最佳方式。

不得不说现在已经步入一个教育内卷的时代，只有付出比别人更多的努力，才能考入理想的学校，才能让自己拥有一个满意的学历，才能让自己拥有更多选择的机会，才能让自己配得上想要的生活。如果不吃学习的苦就一定会吃生活的苦，并且初高中阶段是人记忆力的巅峰期，这也就是心理学上的“关键期”，这段期间学习又快又牢固，而错过了这个时期将愈发艰难。

最后希望学校、家长和孩子能够理性看待减负，去掉冗余的作业，增加体育锻炼时间。但仍然要将学习放在首位，特别是农村学子，要刻苦学习拼搏奋进！ 相信日后的你肯定会感谢现在努力奋斗自己！

大学生考研好吗？

问题一：数据结构在讲什么？ 数据结构是计算机存储、组织数据的方式。数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的 *** 。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关。

一、线性表

（一）线性表的定义和基本操作

（二） 线性表的实现

1. 顺序存储结构

2. 链式存储结构

3. 线性表的应用

二、栈、队列和数组

（一）栈和队列的基本概念

（二）栈和队列的顺序存储结构

（三）栈和队列的链式存储结构

（四）栈和队列的应用

（五）特殊矩阵的压缩存储

三、树与二叉树

（一）树的概念

（二）二叉树

1. 二叉树的定义及其主要特征

2. 二叉树的顺序存储结构和链式存储结构

3. 二叉树的遍历

4. 线索二叉树的基本概念和构造

5. 二叉排序树

6. 平衡二叉树

（三）树、森林

1. 书的存储结构

2. 森林与二叉树的转换

3. 树和森林的遍历

（四）树的应用

1. 等价类问题

2. 哈夫曼（Huffman）树和哈夫曼编码

四、 图

（一） 图的概念

（二） 图的存储及基本操作

1. 邻接矩阵法

2. 邻接表法

（三） 图的遍历

1. 深度优先搜索

2. 广度优先搜索

（四） 图的基本应用及其复杂度分析

1. 最小（代价）生成树

2. 最短路径

3. 拓扑排序

4. 关键路径

五、 查找

（一） 查找的基本概念

（二） 顺序查找法

（三） 折半查找法

（四） B-树

（五） 散列（Hash）表及其查找

（六） 查找算法的分析及应用

六、 内部排序

（一） 排序的基本概念

（二） 插入排序

1. 直接插入排序

2. 折半插入排序

（三） 气泡排序（bubble sort）

（四） 简单选择排序

（五） 希尔排序（shell sort）

（六） 快速排序

（七） 堆排序

（八） 二路归并排序（merge sort）

（九） 基数排序

（十） 各种内部排序算法的比较

（十一） 内部排序算法的应用

问题二：数据结构到底是讲什么的呢 相信你也知道俗话说：计算机程序=算法+数据结构。数据结构就是讲的怎样在计算机程序中组织存储批量数据，以及为什么这样组织。相同的一批数据，不同的组织方式（不同的数据结构）有不同的优缺点，有的利于查找（hash）；有的利于排序（树）；有的利于插入、删除（节点式链表）。在深入还有不同组织方式的查找、排序等等操作的时间、空间复杂度。

问题三：数据结构是什么意思？希望讲的通俗一点。 数据结构是计算机存储、组织数据的方式。数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的 *** 。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关。bjl.website

问题四：什么是数据结构？ 30分 数据结构是计算机存储、组织数据的方式。数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的 *** 。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关。

数据结构在计算机科学界至今没有标准的定义。个人根据各自的理解的不同而有不同的表述方法：

Sartaj Sahni在他的《数据结构、算法与应用》一书中称：“数据结构是数据对象，以及存在胆该对象的实例合组成实例的数据元素之间的各种联系。这些联系可以通过定义相关的函数来给出。”他将数据对象（data object）定义为“一个数据对象是实例或值的 *** ”。

Clifford A.Shaffer在《数据结构与算法分析》一书中的定义是：“数据结构是 ADT（抽象数据类型Abstract Data Type） 的物理实现。”

问题五：数据结构学的到底是什么,和算法的关系 本人乃一个数据痴迷者,在计算机的道路上,也是一个数据结构的痴迷者,现在大学里面和同学搞开发也痴迷于数据库,我就我个人的理解给你谈一谈:首先,数据结构是一门计算机语言学的基础学科，它不属于任何一门语言，其体现的是几乎所有标准语言的算法的思想。上面的概念有一些模糊，我们现在来具体说一说，相信你门的数据结构使用的是一门具体的语言比如C/C++语言来说明，那是为了辅助的学习数据结构，而数据结构本身不属于任何语言（相信你把书上的程序敲到电脑里面是不能通过的吧，其只是描述了过程，要调试程序，还需要修改和增加一些东西）。你们的书上开始应该在讲究数据的物理存储结构/逻辑存储结构等概念，说明数据结构首先就是“数据的结构”，在内存上的存储方式，就是物理的存储结构，在程序使用人员的思想上它是逻辑的，比如：你们在C/C++中学习到链表，那么链表是什么一个概念，你们使用指针制向下一个结点的首地址，让他们串联起来，形成一个接一个的结点，就像显示生活中的火车一样。而这只是对于程序员的概念，但是在内存中存储的方式是怎样的那？对于你程序员来说这是“透明”的，其内部分配空间在那里，都是随机的，而内存中也没有一个又一根的线将他们串联起来，所以，这是一个物理与逻辑的概念，对于我们程序员只需要知道这些就可以了，而我们主要要研究的是“逻辑结构”。我可以给你一个我自己总结的一个概念：所有的算法必须基于数据结构生存。也就是说，我们对于任何算法的编写，必须依赖一个已经存在的数据结构来对它进行操作，数据结构成为算法的操作对象，这也是为什么算法和数据结构两门分类不分家的概念，算法在没有数据结构的情况下，没有任何存在的意义；而数据结构没有算法就等于是一个尸体而没有灵魂。估计这个对于算法的初学者可能有点晕，我们在具体的说一些东西吧：我们在数据结构中最简单的是什么：我个人把书籍中线性表更加细化一层（这里是为了便于理解在这样说的）：单个元素，比如：int i;这个i就是一个数据结构，它是一个什么样的数据结构，就是一个类型为int的变量，我们可以对它进行加法/减法/乘法/除法/自加等等一系列操作，当然对于单个元素我们对它的数据结构和算法的研究没有什么意义，因为它本来就是原子的，某些具体运算上可能算法存在比较小的差异；而提升一个层次：就是我们的线性表（一般包含有：顺序表/链表）那么我们研究这样两种数据结构主要就是要研究它的什么东西那？一般我们主要研究他们以结构为单位（就是结点）的增加/删除/修改/检索（查询）四个操作（为什么有这样的操作，我在下面说到），我们一般把“增加/删除/修改”都把它称为更新，对于一个结点，若要进行更新一类的操作比如：删除，对于顺序表来说是使用下标访问方式，那么我们在删除了一个元素后需要将这个元素后的所有元素后的所有元素全部向前移动，这个时间是对于越长的顺序表，时间越长的，而对于链表，没有顺序的概念，其删除元素只需要将前一个结点的指针指向被删除点的下一个结点，将空间使用free()函数进行释放，还原给操作系统。当执行检索操作的时候，由于顺序表直接使用下标进行随机访问，而链表需要从头开始访问一一匹配才可以得到使用的元素，这个时间也是和链表的结点个数成正比的。所以我们每一种数据结构对于不同的算法会产生不同的效果，各自没有绝对的好，也没有绝对的不好，他们都有自己的应用价值和方式；这样我们就可以在实际的项目开发中，对于内部的算法时间和空间以及项目所能提供的硬件能力进......>>

问题六：谁的数据结构讲的好 你好。

用网易公开课，可以看斯坦福的和MIT的，那个秒杀国内的。

可以用手机WIFI看，也可以用电脑看。

如果我的回答没能帮助您，请继续追问。.

问题七：用你的理解说,什么是数据结构. 数据结构+算法=程序数据结构是指数据在计算机内存（或磁盘中）的组织形式

所谓组织形式是指数据的

{

逻辑结构：数据间的邻接关系 如 线性、树形、图状；

存储结构：数据以何种方式进行存储 如 顺序式、链式；

}

例：对10个人的成绩进行排序的算法

{

首先，将10个人的信息和成绩输入计算机

然后进行排序

最后，输出结果

}第一步是存储信息 关键要考虑2个问题 ：以何种方式将10个人的信息存入(存储结构)，存入候每个人之间的关系是什么？(逻辑结构)

即 要求 指明数据在计算机内的组织形式 这是一个数据结构问题 显然如果只有这10个数据的话，我们会选择数组这种数据结构进行组织

先说几种常见的数据结构： 数组 链表 二叉树 栈 哈希表等所有的数据结构都通过其逻辑结构和存储结构来定位，二者也是每一个数据结构的核心部分。如 1维数组的

逻辑结构：线性

存储结构：顺序式

单链表 是 线性和链式 队列是 线性和顺序式解决了数据的存储问题

接着思考如何排序

首先处理同一类问题(此处为排序)，如果数据结构不同，其算法也不同。同样是排序却有堆排序和数组排序之分等

因此在考虑算法时，要注意考虑数据结构。

在程序设计时更应该综合考虑算法与数据结构的选择与搭配，以设计出最适合的程序

因此 程序设计可分二步

{

1.选择数据结构

2.根据选择的数据结构设计算法

}

然后一个程序即构建成功了。

原创.

问题八：数据结构到底怎么学比较好啊？ 写数据结构代码编程了学习C语言，是大多数初学者的经验，其实有办法可以避免的。

多想> 多看 > 多写字 > 多动键盘

养成好的编程习惯很重要。

做任何工作之前，要把自己的思路整理清楚 参考别人的相关工作经验，针对自己的需求做分析 把思路落实到纸张上 采用自顶向下的编程方式，先把你的个函数的功能，入口和出口描述清楚 每个函数内部的执行流程，都要注释好。 最后再分段逐步编码。

这样可以有效的避免大多数的错误发生。 即便出现错误，也很容易定位到问题的所在。 不知道大家是怎样看待数据结构这门课的，有多少人觉得数据结构很难呢？我知道还是有一些同学这样觉得的，有时候我跟我的朋友讲要怎样学，讲了一大堆以后，他就向我抱怨：我以前c＋＋都没有学好，数据结构更学不好了，这哪跟哪的话啊，数据结构与c＋＋没有什么关系，我想假如抱有这样的心态，自己就不相信自己，那是不可能学好的，然后那些觉得数据结构很难的同学，我想他们应该会很看重数据结构的吧，然后就一天到晚捧着一本数据结构，这样不会觉得很累吗？而且因为觉得很难，就容易不相信自己，学的效率也不会很好，个人认为数据结构很好学，很容易学，或许这有点妄自菲薄吧，但是因为我觉得很容易，当然就会觉得自己没问题，学得很轻松，效果也还可以。大家都是从高考走过来的，应该知道心态的重要性吧，两种不同的心态，完全就是两种不同的效果。学了这么久数据结构了，我们到底在学些什么呢？不知道大家有没有想过，那现在我们现在来归纳一下我们学习的内容吧，其实学到现在我们也就学了几种普通的数据结构，象二叉树，树，图，还有排序的问题，前面的线性表和字符串也就是一些概念，当然还有一个很重要的KMP算法，然后在每种数据结构中我们也就是学到了若干处理的算法，我想真正数起来也就是几十个算法吧。学习数据结构也就是要掌握这几十种算法，多简单。至于如何掌握每个算法呢，我想就是多看看书，重要的是能够理解。 如果真的想学好数据结构的话，最好是能够自己思考问题，不要刚想了一会就觉得做不出来，然后就去问其他人。其实张老师给我们的作业还是基于我们的水平的，我绝对相信我们自己能够独自想出算法，虽有可能会比较长时间吧，但是这样肯定会比问其他人学到更多的东西。当然我并不是说不要问同学，有时候就是脑筋转不过来，一问别人就懂了，当然问了别人不能只是我知道了这个算法，还应该去想如何思考才能得到这个算法，这样水平会提高很多。

很多计算机专业的同学对于大学2年级开设的数据结构课程很是头痛. 看见大家总在谈论数据结构重要性,可使自己学习却总也找不到合适的方法. 下面我和大家分享一下我过去一年多以来学习和应用数据结构方面一些经验. 内容都是来自作者本人的一些经历和体验，希望对于大家学习数据结构有引导作用。 1什么是数据结构 数据结构从文字上面来看，为数据和结构两部分。这样就很容易联系到数据结构的本质是一种对于数据结构花的知识。补充一个知识点，数据结构本质和离散数学有很密切的关系。离散数学是处理的是离散（非连续的）的数据，站在数据结构的观点上来看，也可以理解是一种非连续数据的结构。 2数据结构和程序设计语言 数据结构和程序设计语言本身没有任何联系，唯一有的关系就实用程序语言去描述数据结构。 因为数据结构是一种抽象数据，通过程序设计语言可以将在计算机中进行实现。今天大学里数据结构课程常用来描述数据结构的语言有C程序设计语言,C 程序设计语言和JAVA程序设计语言.而对于喜欢其他语言的同学完全可以自己通过学习数据结构后用自己熟悉的程序设计语言去完成程序化的描述. 我自己过去......>>

问题九：数据结构视频哪个讲的比较好 ！ 清华大学 严蔚敏 的 - =# 优酷上有全集…… 但兄台你要忍住、刚开始看的时候吓坏我了、、、还有一个是中山大学的、普通话不太标准 讲的还比较彻底……都是在优酷或土豆上的

大学生当兵有什么好处？

当然好了，现在大学日益扩招，有句话说，满大街的人，随意一板砖就能砸到三个大学生。就业压力大，选择读研来让自己更有竞争力，研究生才能找到高薪的工作。

因为研究生学历相较于本科毕业生学历含金量更高，所以研究生找到工作的机会比本科毕业生更多，并且研究生工资也比本科毕业生更高。

还可以延缓就业压力，推迟就业期的到来。有些城市，有些学校能给研究生解决户口的问题提高自身学历，增强竞争力；国家出台了新的研究所扩招政策，考研相对容易，能够拿到更高的文凭；学术上有创见，可以沿着这个方向一直努力，毕业后获得稳定的工作。

最重要的一点是你可以跟随导师接触到更多的学术人才，或是接触到很多与优秀人才合作的技术型项目，通过提高社交圈质量能够使人变得更好。

当然这要根据自身的实际情况来定，做好属于自己的规划。

考研的利与弊有哪些？

大学生当兵有四个好处。

一是体能得到锻炼。十年寒窗苦读，书生体质较弱，正好锻炼加强。

二是意志得到磨练。军队是个大熔炉，有利于锻炼意志，百炼成钢。

三是能文能武，文武全才，有利于一个人的成长。

四是知识报国，把自己的所学贡献给国防，保家卫国，人生更有价值。

排列组合题

考研的优点有很多：

1.可以丰富自己，加强修养，学习更深入的知识技能。读书破万卷，下笔如有神。古人也常常教导我们活到老，学到老，我觉得学习的过程也是丰富自己，充实自己的一个过程。

2.交到更多的朋友，扩大自己的交际圈朋友圈，为自己以后打好人际基础，互相帮助。人际基础是非常重要的，毕竟多一个朋友，多一分安全。可能以后就业以后，去谈工作，都是跟以前认识的人谈，让工作更轻松，更踏实，更有底，毕竟认识的熟悉的更放心。

3.打开自己的眼界，在本科期间，我觉得主要是一些理论知识的学习，而在研究生阶段，会接触到更多的实践学习，更能贴近于生活，更能激起自己的学习乐趣。

4.在就业的时候更有优势，你想想，哪个面试官会拒绝一个学历高的人呢？而且有的公司还设置了面试底限，必须是本科，或者研究生又或者是博士生，这个就是进去的门槛，如果不达标，那连面试机会都没有，一个人的实力的表现基本上在学历上可以体现出来，所以别人对自己的第一眼基本上都是看学历。

5.可以给自己第二次选择的机会，可能本科学的专业并不是自己喜欢的，在考研的时候可以跨专业考研。

考研的缺点：

1.压力会很大，在学习的过程中会遇到很多困难，有的直冲心理，有的孩子在学习的时候会非常难受，压力大，从而产生一些心理疾病，像抑郁症等等。

2.生理上会影响，尤其是眼睛，会过度使用，会导致眼睛干涩变形，或者近视，有的还甚至失明。

考研是人生中很重要的一次考试，也是几率很小的一场考试，愿广大考研的朋友们可以成功上岸！

解排列组合应用题的21种策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法种数有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

解析：把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于4人的全排列， 种，选 .

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为 种，再用甲乙去插6个空位有 种，不同的排法种数是 种，选 .

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3. 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

解析： 在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 种，选 .

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选 .

5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有 种，选 .

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）

A、 种 B、 种 C、 种 D、 种

答案： .

6.全员分配问题分组法:

例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

解析：把四名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 种，故共有 种方法.

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种

答案： .

7.名额分配问题隔板法:

例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 种.

8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有 方法，所以共有 ；③若乙参加而甲不参加同理也有 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有 种，共有 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 种.

9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）

A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有 个，

个，合并总计300个,选 .

（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做 共有86个元素；由此可知，从 中任取2个元素的取法有 ，从 中任取一个，又从 中任取一个共有 ，两种情形共符合要求的取法有 种.

（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

解析：将 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集 ；能被4除余1的数集 ，能被4除余2的数集 ，能被4除余3的数集 ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从 中任取两个数符合要；从 中各取一个数也符合要求；从 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 种.

10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 .

例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

种.

11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

解析：老师在中间三个位置上选一个有 种，4名同学在其余4个位置上有 种方法；所以共有 种。.

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）

A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种

解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 种，选 .

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有 种，其余5个元素任排5个位置上有 种，故共有 种排法.

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）

A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 种,选.

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有 台,选 .

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 种，再排：在四个盒中每次排3个有 种，故共有 种.

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

解析：先取男女运动员各2名，有 种，这四名运动员混和双打练习有 中排法，故共有 种.

15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）

A、70种 B、64种 C、58种 D、52种

解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有 个.

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A、150种 B、147种 C、144种 D、141种

解析：10个点中任取4个点共有 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为 ，四个面共有 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是 种.

16.圆排问题单排法:把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 个普通排列：

在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同， 个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的 元素全排列.

例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式 种不同站法.

说明：从 个不同元素中取出 个元素作圆形排列共有 种不同排法.

17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法.

例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有 种不同方案.

18.复杂排列组合问题构造模型法:

例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

解析：从5个球中取出2个与盒子对号有 种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为 种.

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:

例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？

解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为

个.

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.

21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 个.

（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 到 的最短路径有多少种？

解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从 到 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 种.