数学经典高考题_数学高考锦囊

三角形中的三角函数式

三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.

●难点磁场

(★★★★★)已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B. ，求cos 的值.

●案例探究

［例1］在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？

命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.

知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.

错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.

技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.

解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

(2)∠DAC=90°－60°=30°

sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=

sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB?cos30°－cosACB?sin30° .

在△ACD中，据正弦定理得 ，

∴

答：此时船距岛A为 千米.

［例2］已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos ，f(x)=cosB( ).

(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；

(2)判断其单调性，并加以证明；

(3)求这个函数的值域.

命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属★★★★级题目.

知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题.

错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.

技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意| |的范围.

解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤| |＜60°，∴x=cos ∈( ，1

又4x2－3≠0，∴x≠ ，∴定义域为( ， )∪( ，1］.

(2)设x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)=

= ，若x1，x2∈( )，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0

即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈( ，1］，则4x12－3＞0.

4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.

即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在( , )和( ，1 上都是减函数.

(3)由(2)知，f(x)＜f( )=－ 或f(x)≥f(1)=2.

故f(x)的值域为(－∞，－ )∪［2，+∞ .

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：

(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；

(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；

(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC为正三角形.以上正确命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

2.(★★★★)在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则 的值为__________.

3.(★★★★)在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=－ ，sinB= ，则cos2(B+C)=__________.

三、解答题

4.(★★★★)已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.

5.(★★★★★)如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k? ，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

6.(★★★★)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边， .

(1)求角A的度数；

(2)若a= ，b+c=3，求b和c的值.

7.(★★★★)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又∠A－∠C= ，试求∠A、∠B、∠C的值.

8.(★★★★★)在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值.

参考答案

难点磁场

解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°.

设α= ，则A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，

依题设条件有

整理得4 cos2α+2cosα－3 =0(M)

(2cosα－ )(2 cosα+3)=0，∵2 cosα+3≠0，

∴2cosα－ =0.从而得cos .

解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°

①，把①式化为cosA+cosC=－2 cosAcosC ②，

利用和差化积及积化和差公式，②式可化为

③，

将cos =cos60°= ，cos(A+C)=－ 代入③式得：

④

将cos(A－C)=2cos2( )－1代入 ④：4 cos2( )+2cos －3 =0，(*)，

歼灭难点训练

一、1.解析：其中(3）(4）正确.

答案： B

二、2.解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，

答案：

3.解析：∵A为最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.

∵cos(2A+C)=－ ，∴sin(2A+C)= .

∵C为最大角，∴B为锐角，又sinB= .故cosB= .

即sin(A+C)= ，cos(A+C)=－ .

∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－ ，

∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1= .

答案：

三、4.解：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积：

S=S△ABD+S△CDB= ?AB?ADsinA+ ?BC?CD?sinC

∵A+C=180°，∴sinA=sinC

故S= (AB?AD+BC?CD)sinA= (2×4+6×4)sinA=16sinA

由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB?AD?cosA=20－16cosA

在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB?CD?cosC=52－48cosC

∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，

∴64cosA=－32，cosA=－ ，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8 .

5.解：R=rcosθ，由此得： ，

7.解：由a、b、3c成等比数列，得：b2=3ac

∴sin2B=3sinC?sinA=3(－ )［cos(A+C)－cos(A－C)］

∵B=π－(A+C).∴sin2(A+C)=－ ［cos(A+C)－cos ］

即1－cos2(A+C)=－ cos(A+C)，解得cos(A+C)=－ .

∵0＜A+C＜π，∴A+C= π.又A－C= ∴A= π，B= ，C= .

8.解：按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AB=a，AD=x，∴DP=x.在△ABC中，

∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，?

由正弦定理知： .∴BP=

在△PBD中， ,

∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，

sin(60°+2θ)=1，此时x取得最小值 a，即AD最小，∴AD∶DB=2 －3.

http://lib.verycd.com/2006/05/25/0000104216.html

这不需要等级的，直接就可以下载的。我都下了。

出奇制胜 洪恩高考英语内容介绍

语法篇 讲解深入浅出，有针对性的讲解帮助用户真正参与到学习过程中。智能题库直指考生弱点，把握重点, 突破语法。

词汇篇有先进的语音识别技术辅助学习，提供中学阶段全部单词的识记流程，考生可根据自身情况进行筛选，并进行多种练习形式，帮助考生轻松记忆，巩固提高。

题型篇，针对高考考点，在分析历届高考真题的基础上总结方法规律，并配有大量习题，使考生真正掌握这几部分题型的重点、难点和做题方法。

听说篇针对目前高考趋势和英语教学发展发向，利用多媒体手段仿真考试环境，使考生在短时间内迅速提高听说能力，是学生学习英语的最佳帮手。

产品内容：

光盘1：语法篇

1、 语法秘笈：语法要点的讲解、练习与总结。

2、 智能题库：50套，共1000道精选的语法题，对每个题目的所有选项均配有细致的分析。测试报告提供对相关讲解内容的链接，方便用户学习。

3、 我的题库：供用户自己收集本部分的重点题目，反复训练。

光盘2：词汇篇

1、 单词识记：高考必备的2500单词，100课流程式的单元识记课程。

2、 词语辨析：精选高考中常见的189组短语辨析，分析透彻细致。

3、 词汇练习：三种练习形式，并配有解析。共32组，800道题。

4、 游戏空间：三个小游戏训练用户对于单词的识记和拼写。

5、 我的词库：供用户自己收集重点词汇，反复训练。

6、 我的题库：供用户自己收集本部分的重点题目，反复训练。

光盘3：题型篇

1、 书面表达：“技巧点拨”、“讲练成篇”、“写作实战”三部分，配有游戏和我的作文簿。

2、 短文改错：“改错锦囊”、“改错进阶”把理论知识融入生动例题中，提高改错能力。

3、 阅读理解：8个单元的阅读理解题目类型的对白式分析讲解，21篇阅读理解范例，317篇阅读理解题，25篇取自大学英语教材的阅读文章，不仅能够锻炼阅读能力，更能学到丰富有趣的知识。

4、 完形填空：5个单元完形填空题的对白式分析讲解，11篇高考试完形填空的真题，80篇配有解析内容的完形填空题，边讲边练，针对性强。

5、 大考场：1992－2001十年高考真题，10套各地高考模拟题，可以进行模拟训练。

光盘4：听说篇

1、 听力：边听边练，400道听力题配有解析内容，10段原声名人演讲供用户欣赏。

2、 口语：本部分专供报考外语类院校的学生学习并练习，同时对于提高其他高中学生的英语口语水平有极大的帮助。

特点

涉及高考的全部题型，内容全面；全部素材由经验丰富的高三英语老师审定，使其权威性得到保证。

锻练结合，深入浅出，并根据用户对例题的解答进行有针对性的讲解。

练习形式上，可为用户提供语法薄弱点总结和仿真口试环境，部分游戏还可以增加用户的学习兴趣。

辅助功能，如我的题库可以自定义学习重点。

秉承了洪恩软件的人性化设计特点，提高学习效率。

出奇制胜-洪恩高考数学

以数十位着名教育专家最新教学理论为指导，荟萃百余位一线特高级教师多年指点高考的教学精华，汇集十余位高考命题专家的悉心指点,汲取北大、清华近五年高考状元的实战经验，融入家长和考生对高考复习的呼声，凝聚崇尚高品质的洪恩软件工程师的不懈努力，精心打造洪恩软件全新力作——《出奇制胜-高考系列》，帮您用最少的时间取得最好的复习效果，提高考试成绩，助您早日实现大学梦！

内容介绍

“知识点拨” 一语中的，指出各章的重难点，节省时间，提高效率。

“典型例题” 紧跟高考形势，紧扣考纲要求，突出高考数学的重难点。

“自我检测” 自动评判，自定时间，并提供试题分析、试题打印功能。

“高考试题” 中除了1995－2001历年真题及答案分析外，还为你提供了重点中学的高考模拟题。

“专题讲解” 在最短时间内牢牢掌握所学知识。

产品内容：

光盘1：集合、函数、三角函数、不等式

光盘2：数列、复数、排列组合、直线与圆

光盘3：圆锥曲线、直线与平面、多面体与旋转体、专题讲解、高考热身

特点

知识点紧扣考纲，知识面涵盖了高中数学所有章节；

章节重难点剖析得当，及时练习巩固；

典型例题思路清晰，分析透彻，总结贴切

自我测试，检验真功夫

专题讲解，一“专”多能

结构脉络清晰，章节划分合理，使用户一目了然；

界面亲切友好，操作简单方便；精彩的flash动态演示形象生动；

人性化设计，讲练结合，提高学习效率。