高考不等式小题_高考不等式题型

1.高考数学 当x的系数不同时怎么用绝对三角不等式？ 如题 用绝对三角不等式有两种答案

2.求高二不等式证明所有题型和解析！谢谢！

3.高考数学参数方程题型

4.2022年全国新高考1卷数学试题及答案详解

高考数学不等式的学习技巧有以下几点：

1.理解基本概念：首先要对不等式的基本概念有清晰的理解，包括大于、小于、大于等于、小于等于等符号的含义。

2.掌握性质和变形：要熟练掌握不等式的性质和变形方法，如加法、减法、乘法、除法等运算法则，以及移项、合并同类项等变形技巧。

3.学会解一元一次不等式：一元一次不等式是基础，要熟练掌握解一元一次不等式的方法，包括利用图象法、代数法等。

4.学会解一元二次不等式：一元二次不等式是高考中常见的题型，要熟悉解一元二次不等式的方法和步骤，包括判别式法、因式分解法等。

5.学会解绝对值不等式：绝对值不等式是高考中常考的题型，要掌握解绝对值不等式的方法和技巧，包括分段讨论、去绝对值符号等。

6.多做练习题：通过大量的练习题来巩固所学的知识和方法，提高解题能力和速度。

7.注意思维逻辑：在解题过程中要注意思维的逻辑性，避免出现错误的思路和计算。

8.多思考问题的本质：在解题过程中要多思考问题的本质，找出问题的关键点和规律，从而更好地解决问题。

总之，学习高考数学不等式需要掌握基本概念和性质，熟练运用变形方法和解法，多做练习题，注重思维逻辑和问题本质的思考。

高考数学 当x的系数不同时怎么用绝对三角不等式？ 如题 用绝对三角不等式有两种答案

　绝对值不等式，在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对象(如实数、向量)的大小或绝对值。下面我给大家介绍高考数学知识点之绝对值不等式，赶紧来看看吧!

　公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

　性质

　|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

　两个重要性质：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

　2.|a|<|b|可逆a

　另外

　|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。

　|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成立，ab≤0时右边等号成立。

　几何意义

　1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的.距离之和。2.当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

　(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)

　绝对值重要不等式

　我们知道

　|a|={a，(a>0)，a，(a=0)，﹣a，(a<0)，}

　因此，有

　﹣|a|≤a≤|a|

　﹣|b|≤b≤|b|

　同样地

　①，②相加得

　﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

　即|a+b|≤|a|+|b|

　显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。

　由③可得

　|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|，

　即|a|-|b|≤|a+b|

　综合③，④我们得到有关绝对值(absolutevalue)的重要不等式

　|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

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方法一、去绝对值

|x+1|+|2x-1|=3x ,x≥1/2

-x+2 -1≤x＜1/2

-3x , x<-1

这下面你会

方法二、|x+1|+|2x-1|=|x+1|+|x-1/2|+|x-1/2|

=|x-(-1)|+|x-1/2|+|x-1/2|

根据数轴上的点之间的距离，结合绝对值几何意义。就行了。

方法三、绝对值三角不等式适合系数一样的绝对值。

这里我们引入多维形式的绝对值不等式，

设a1<a2<...<an

|x-a1|+|x-a2|+...+x-an|

n为奇数时,x=中间项时，取最小值。

这个方法，自主招生考试之类的书上，专门有讲述。

|x+1|+|2x-1|=|x+1|+|x-1/2|+|x-1/2|

这里x=1/2时，取最小值3/2

高考中，一般去绝对值。

高考数学参数方程题型

例1 已知a，b，c∈R+，证明不等式：

当且仅当a=b=c时取等号。

解 用综合法。因a＞0，b＞0，c＞0，故有

三式分边相加，得

当且仅当a=b=c时取等号。

例2 设t＞0。证明：对任意自然数n，不等式

tn-nt+(n-1)≥0

都成立，并说明在什么条件下等号成立。

解 当n=1时，不等式显然成立，且取等号。

当n≥2时，由幂分拆不等式，可得以下n-1个不等式：

t2+1≥t+t，t3+1≥t2+t，…，

tn-1+1≥tn-2+t，tn+1≥tn-1+t

以上各式当且仅当t=1时取等号。把它们分边相加，得

故对任意n∈N，不等式获证。等号成立的条件是n=1，或t=1。

注 ①在以上不等中令t=1+x(x＞-1)，即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥1+nx

例3 设a，b，c都是正数，证明不等式

当且仅当a=b=c时取等号。

分析 本例有多种精彩证法。根据对称性，可从左边一项、两项入手，当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手。

解 [法一] 从一项入手，适当配凑后由平均值不等式知

三式分边相加，即得

时，上式取等号。

[法二] 从两入手，利用幂分拆不等式，有

同理有

三式分边相加，得

[法三] 从整理入手，原不等式等价于

进一步证明参考习题5-2-7(1)解答。

[法四] 由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，y，∈R+)的变式

三式分边相加，得

所以

注 从证法4我们看到，利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，

式不等式，思路自然，简捷明快，颇具特色。

例4 已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α，β。证明：若|α|＜2，|β|＜2，则|q|＜4，且2|p|＞4+q。

解 先证|q|＜4，由韦达定理知

|q|=|αβ|=|α|·|β|＜2×2=4

再证2|p|＞4+q。

欲证不等式即0≤2|α+β|＜4+αβ。故只须证

4(α+β)2＜(4+αβ)2

即 4α+8αβ+4β2＜16+8αβ+α2β2

从而只须证

16-4α2-4β2+α2β2＞0

即 (4-α2)(4-β2)＞0

由|α|＜2，|β|＜2，知α2＜4，β2＜4，故最后不等式成立，从而原不等式得证。

例5 证明：若a，b，c是三角形的三边，则

3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca)

当且仅当三角形为正三角形时，左边取等号。

解 左边不等式等价于

3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

欲证此不等式成立，只须证

ab+bc+ca≤a2+b2+c2

即证

2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0

左边配方即为

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0

此不等式显然成立，当且仅当a=b=c，即三角形为正三角形时取等号。故左边不等式获证。

欲证右边不等式，仿上只须证

a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca)

从而只须证

(ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)＞0

即证

a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)＞0

由于a，b，c是三角形的三边，此不等式显然成立，故右边不等式获证。

综上所述，原不等式得证。

例6 设f(x)=x2+px+q(p，q∈R)，证明：

(2)若|p|+|q|＜1，则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1。

解 用反证法

但是，

|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)

=(1+p+q)-2×(4+2p+q)+(9+3p+q)=2 (ii)

(i)与(ii)矛盾，故假设不成立，即原命题成立。

(2)假设f(x)=0的两根x1，x2的绝对值不都小于1，不妨设|x1|≥1，那么由韦达定理，有

|p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2|

|q|=|x1x2|=|x1|·|x2|≥|x2|

两式分边相加，得

|p|+|q|≥1

这与题设矛盾，故假设不成立，即原命题得证。

注 反证法的逻辑程序是：否定结论→推出矛盾→肯定结论。反证法常用于直接证明难于入手的命题，或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题。

不等式证明知识概要

河北/赵春祥

不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

一、要点精析

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。

5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。

6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。

二、难点突破

1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。

2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯。但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。

3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。

4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。

5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。

6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根据不等式的结构特点掌握清楚。

（摘自：《考试报·高二数学版》2004年/07月/20日）

1、比较法（作差法）

在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。

例1、已知： ， ，求证： 。

证明： ，故得 。

2、分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。

例2、求证： 。

证明：要证 ，即证 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。

3、综合法

证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。

例3、已知： ， 同号，求证： 。

证明：因为 ， 同号，所以 ， ，则 ，即 。

4、作商法（作比法）

在证题时，一般在 ， 均为正数时，借助 或 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。

例4、设 ，求证： 。

证明：因为 ，所以 ， 。而 ，故 。

5、反证法

先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。

例5、已知 ， 是大于1的整数，求证： 。

证明：假设 ，则 ，即 ，故 ，这与已知矛盾，所以 。

6、迭合法（降元法）

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。

例6、已知： ， ，求证： 。

证明：因为 ， ，

所以 ， 。

由柯西不等式

，所以原不等式获证。

7、放缩法（增减法、加强不等式法）

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。

例7、求证： 。

证明：令 ，则

，

所以 。

8、数学归纳法

对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在 时成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。

例8、已知： ， ， ，求证： 。

证明：（1）当 时， ，不等式成立；

（2）若 时， 成立，则

= ，

即 成立。

根据（1）、（2）， 对于大于1的自然数 都成立。

9、换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。

例9、已知： ，求证： 。

证明：设 ， ，则 ，

（因为 ， ），

所以 。

10、三角代换法

借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。

例10、已知： ， ，求证： 。

证明：设 ，则 ；设 ，则

所以 。

11、判别式法

通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。

例11、设 ，且 ，求证： 。

证明：设 ，则

代入 中得 ，即

因为 ， ，所以 ，即 ，

解得 ，故 。

12、标准化法

形如 的函数，其中 ，且

为常数，则当 的值之间越接近时， 的值越大（或不变）；当 时， 取最大值，即

。

标准化定理：当A+B为常数时，有 。

证明：记A+B=C，则

，

求导得 ，由 得C=2A，即A=B

又由 知 的极大值点必在A=B时取得

由于当A=B时， ，故得不等式。

同理，可推广到关于 个变元的情形。

例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证： 。

证明：由标准化定理得，当A=B=C时， ，取最大值 ，故 。

13、等式法

应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。

例13（1956年波兰数学竞赛题）、 为 的三边长，求证：

。

证明：由海伦公式 ，

其中 。

两边平方，移项整理得

而 ，所以 。

14、函数极值法

通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。

例14、设 ，求证： 。

证明：

当 时， 取最大值 ；

当 时， 取最小值－4。

故 。

15、单调函数法

当 属于某区间，有 ，则 单调上升；若 ，则 单调下降。推广之，若证 ，只须证 及 即可， 。

例15、 ，求证： 。

证明：当 时， ，而

故得 。

16、中值定理法

利用中值定理： 是在区间 上有定义的连续函数，且可导，则存在 ， ，满足 来证明某些不等式，达到简便的目的。

例16、求证： 。

证明：设 ，则

故 。

17、分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。

例17、 ，且 ，求证： 。

证明：因为

所以 。

18、构造法

在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。

例18、已知： ， ，求证： 。

证明：依题设，构造复数 ， ，则 ，

所以

故 。

19、排序法

利用排序不等式来证明某些不等式。

排序不等式：设 ， ，则有

，其中 是 的一个排列。当且仅当 或 时取等号。

简记作：反序和 乱序和 同序和。

例19、求证： 。

证明：因为 有序，所以根据排序不等式同序和最大，即 。

20、几何法

借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。

例20、已知： ，且 ，求证： 。

证明：以 为斜边， 为直角边作

延长AB至D，使 ，延长AC至E，使 ，过C作AD的平行线交DE于F，则 ∽ ，令 ，

所以

又 ，即 ，所以 。

另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.H?lder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，这里不再烦述了。

在实际证明中，以上方法往往相互结合、互相包含，证题时，可能同时运用几种方法，结合起来加以证明。

参考文献

[1]李玉琪主编?初等代数研究?北京：中国矿业大学出版社，1993

[2]方初宝等编?数学猜想法浅谈?重庆：科技文献出版社重庆分社，1988

[3]吴德风?不等式与线性规划初步?北京：科学普及出版社，1983

2022年全国新高考1卷数学试题及答案详解

高考数学参数方程是一种常见的数学题型，它通常涉及一些具有特定参数的方程或不等式，要求考生根据参数的范围或条件来求解方程或不等式的解。

以下是一些高考数学参数方程题型的解题思路和方法：

1.了解参数的意义和作用：在解决参数方程问题之前，首先需要了解参数的意义和作用。参数通常是一种用来描述某个问题或者某种关系的数值或变量，它可以是数字、字母或者其他数学对象。在参数方程中，参数通常会出现在方程的系数、指数、根式等位置，对于不同位置的参数需要进行分类讨论，明确参数的范围和作用。

2.选择适当的参数方程形式：在解决参数方程问题时，需要根据具体问题选择适当的参数方程形式。常见的参数方程形式包括一元二次方程、一元高次方程、二元二次方程组、指数方程、对数方程等。在选择参数方程形式时，需要考虑方程的特点、参数的范围和作用，以及具体的解题需求。

3.利用参数的限制条件：在参数方程问题中，参数通常受到一些限制条件，如参数的范围、取值方式等。在解题时，需要充分利用这些限制条件，缩小参数的范围或者确定参数的值。同时，还需要注意参数的取值是否具有实际意义，避免出现不符合实际的解。

4.分类讨论：在解决参数方程问题时，经常需要对参数进行分类讨论，以确定不同情况下的解。分类讨论可以按照参数的取值范围、方程的形式、方程的性质等特点进行分类，需要注意分类的完整性、分类的合理性和不重不漏的原则。

5.转化和化简：在解决参数方程问题时，经常需要对方程进行转化和化简。转化和化简的目的是将复杂的方程转化为简单的形式，或者将多个方程转化为一个简洁的表达式。在转化和化简过程中，需要注意符号、根式、指数等细节问题，避免出现错误。

6.求解方程或不等式的解：在解决参数方程问题时，最终目的是求解方程或不等式的解。在求解过程中，需要根据具体的问题选择适当的求解方法，如因式分解、求根公式、不等式求解等。同时，还需要注意解的存在性、唯一性、合理性等问题，避免出现不符合实际的解。

高考数学命题贯彻高考内容改革的要求，依据高中课程标准命题，进一步增强考试与教学的衔接。下面是我为大家收集的关于2022年全国新高考1卷数学试题及答案详解。希望可以帮助大家。

全国新高考1卷数学试题

全国新高考1卷数学答案详解

2022高考数学知识点 总结

1.定义：

用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

2.性质：

①不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号方向不变。

②不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

③不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

3.分类：

①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式。

②一元一次不等式组：

a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

4.考点：

①解一元一次不等式(组)

②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题

③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集

考点一：集合与简易逻辑

集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查 抽象思维 能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示 方法 的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。

考点二：函数与导数

函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数(一次和二次函数、指数、对数、幂函数)的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。

考点三：三角函数与平面向量

一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新 热点 ”题型.

考点四：数列与不等式

不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目.

一、排列

1定义

(1)从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。

(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Amn.

2排列数的公式与性质

(1)排列数的公式：Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

特例：当m=n时，Amn=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1

规定：0!=1

二、组合

1定义

(1)从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。

2比较与鉴别

由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。

排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。

三、排列组合与二项式定理知识点

1.计数原理知识点

①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)

2.排列(有序)与组合(无序)

Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!

Cnm=n!/(n-m)!m!

Cnm=Cnn-mCnm+Cnm+1=Cn+1m+1k?6?1k!=(k+1)!-k!

3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)

插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等

在求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;

(4)列出式子计算和作答.

经常运用的数学思想是：

①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.

4.二项式定理知识点：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn

特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m

二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)

所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n

奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和

Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1

③通项为第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中。

诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

知识整合

1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。

2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。

3。在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。

4。证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)。

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;

(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(2)数列与 其它 知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;

2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，

进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力

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