高考集合专题,集合高考真题汇编

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高中数学是全国高中生学习的一门学科。包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《立体几何》《平面解析几何》等部分， 高中数学主要分为代数和几何两大部分。代数主要是一次函数，二次函数，反比例函数和三角函数。几何又分为平面解析几何和立体几何两大部分。

一、 集合

(1)集合的含义与表示

1通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

2能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

(2)集合间的基本关系

1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

2在具体情境中，了解全集与空集的含义。

(3)集合的基本运算

1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

3能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

函数概念与基本初等函数:

(1)函数

1进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。

2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。

3了解简单的分段函数，并能简单应用。

4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数，了解奇偶性的含义。

5学会运用函数图象理解和研究函数的性质(参见例1)。

(2)指数函数

1(细胞的分裂，考古中所用的C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景。

2理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

3理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

4在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

(3)对数函数

1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料，了解对数的产生历史以及对简化运算的作用。

2通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

3知道指数函数 与对数函数 互为反函数(a>0，a≠1)。

(4)幂函数

通过实例，了解幂函数的概念;结合函数 的图象，了解它们的变化情况。

(5)函数与方程

1结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

2根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

(6)函数模型及其应用

1利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用。

二、三角函数

(1)任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

(2)三角函数

1借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

2借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( 的正弦、余弦、正切)，能画出 的图象，了解三角函数的周期性。

3借助图象理解正弦函数、余弦函数在 ，正切函数在 上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)。

4理解同角三角函数的基本关系式:

5结合具体实例，了解 的实际意义;能借助计算器或计算机画出 的图象，观察参数A，ω， 对函数图象变化的影响。

6会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

三、数列

(1)数列的概念和简单表示法

了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数。

(2)等差数列、等比数列

1理解等差数列、等比数列的概念。

2探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。

3能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题(参见例1)。

4体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

四、不等式

(1)不等关系

感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。

(2)一元二次不等式

1经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

2通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题

1从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

3从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(。

(4)基本不等式:

1探索并了解基本不等式的证明过程。

2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

五、立体几何初步

(1)空间几何体

1利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料(如纸板)制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。

3通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)。

5了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。

(2)点、线、面之间的位置关系

1借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4:平行于同一条直线的两条直线平行。

定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

2以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

操作确认，归纳出以下判定定理。

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。

一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

垂直于同一个平面的两条直线平行。

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

3能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

平面解析几何初步:

(1)直线与方程

1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

3能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

4根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系。

5能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

6探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

(2)圆与方程

1回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

3能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

(3)在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

(4)空间直角坐标系

1通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。

2通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。