高考三角函数题型,高考三角函数题型整理

判断函数单调性的基本方法、定义法， 定义域判断函数单调性的步骤，取值、作差(或商)变形、定号、判断。?

1、函数的单调性也可以叫做函数的增减性，当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性，一般都设一连续函数f(x)的定义域为D。

2、设f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))，那么就说函数f(x)在区间D上是增（减）函数，若函数f(x)，g(x)在区间D上均为增(减)函数，则函数f(x)+g(x)在区间D上仍为增(减)函数。

3、函数单调性的判断方法有导数法、定义法，性质法和复合函数同增异减法。首先对函数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增函数，小于零是减函数。

一

三角函数定义域、值域求解问题

(1)三角函数的定义域求解题

①确定三角函数的定义域的依据:

a.正、余弦函数和正、余切函数的定义域。

b.若函数是分式函数,则分母不能为零。

c.若函数是偶次根式函数,则被开方数非负。

d.若函数是形如y=logaf(x)(a>0,a≠1)的函数,则其定义域由f(x)>0确定。

e.当函数是由实际问题确定时,其定义域不仅要使解析式有意义,同时还要使实际问题有意义。

②求由三角函数参与构成的函数的定义域,自变量必须满足:

a.使三角函数有意义。例如,若函数含有tanx,需x≠kπ+π/2,k∈Z

b.分式形式的分母不等于零。

c.偶次根式的被开方数不小于零。

③求三角函数的定义域时,常常归结为解三角不等式组,这时可利用基本三角函数的图像或单位圆中三角函数线直观地求得解集。

(2)三角函数值域的求解问题

①一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质罢了。

②求函数的最大(小)值,不能机械地、教条地套用y=sinx与y=cosx的值域.要根据题意确定函数定义域,由定义域确定函数的取值范围。

规律方法

①求三角函数的定义域时,可转化为三角不等式组求解,常常借助于三角函数的图像和周期解决,求交集时可以利用单位圆,对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍。

②函数y=sinx与y=cosx的定义域为R,值域可从正弦函数线、余弦函数线或正弦曲线、余弦曲线得出。从正弦函数线、余弦函数线可以看出:正弦函数线、余弦函数线的长度小于或等于单位圆半径的长度;从正弦曲线、余弦交个曲线可以看出:正弦曲线、余弦曲线分布在y=1和y=-1之间,说明|sinx|≤1, |cosx|≤1,即正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]。

方法提炼

①用三角函数的图像解sinx>a(或cosx>a)的方法:

a.作出直线y=a,作出y=sinx(或y=cosx)的图像;b.确定sinx=a(或cosx=a)的x值;c.确定sinx>a(或cosx>a)的解集。

②用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法:

a.找出使sinx=a(或cosx=a)的两个x值的终边所在的位置;b.根据变化趋势,确定不等式的解集。

二

三角函数的奇偶性、周期性问题

(1)判断一个函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)或y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asinωx(Aω≠0)或y= Acosωx(Aω≠0)中的一个。

①要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);

②要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+π/2(k∈Z);

③要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+π/2(k∈Z);

④要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z)。

(2)求三角函数周期的一般思路:

把三角函数化成易求周期的函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)或Asin(ωx+φ)(Aω≠0)(A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)的形式,这两个函数的最小正周期都是T=2π/|ω|。化简的一般思路是“多个化一个,高次化一次”。

技巧归纳

(1)判断函数的奇偶性时,必须先检查定义域是不是关于原点对称的区间,若对称,则验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;若不对称,则该函数必为非奇非偶函数。

(2)求与正、余弦函数有关的函数f(x)的周期,一般是把函数f(x)化成y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,函数y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的最小正周期都为T=2π/|ω|。化简的一般思路是“多个化一个,高次化一次”,最终将所给函数化成单角单函数。

三

三角函数的单调性问题

(1)三角函数单调性问题的常见题型及求解依据

三角函数的单调性问题,主要题型有:

①比较大小问题;

②求函数的单调区间问题;

③三角不等式问题;

④闭区间上的函数的最大(小)值问题,主要理论依据:

a.正(余)弦函数的单调性;

b.复合函数的单调性:

设函数y=f(u)和u=g(x)在公共区间A内都是单调函数,那么函数y=f[g(x)]在区间A内也是单调函数,并且若y=f(u)和u=g(x)的单调性相同(反),则y=f[g(x)]在区间A内是增(减)函数,这个性质简记为“同增异减”。

(2)三角函数值大小比较问题的两种情形及对策

①比较同名三角函数值的大小,首先把三角函数转化为同单调区间上的同名三角函数,再利用函数单调性通过比较自变量确定函数值的大小。②对不是同名的三角函数值比较大小时,应先化为同名三角函数,然后利用①比较大小。