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山东省聊城市2007年高考模拟试题

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数 在复平面内对应的点对于 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．对函数 的性质的描述：①函数图象关于原点对称；②函数图象关于y轴对称；③该函数既有最大值又有最小值。其中正确的个数为 （ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

3．某校高一年级有学生x人，高二年级有学生900人，高三年级有学生y人，若采用分层抽样的方法抽一个容量为370人的样本，高一年级抽取120人，高三年级抽取100人，该中学三个年级共有学生 （

A．1900人 B．2000人 C．2100人 D．2220人

4．在正项等比数列 中，Sn是其前n项和，若S10=10，S30=130，则S20的值为 （ ）

A．50 B．40 C．30 D．

5．“ ”是“直线 互相垂直”

的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知函数 ，不等式 的解集为 ，则函数 的图象可以为 （ ）

7．△ABC中， ，则△ABC的面积等于 （ ）

A． B． C． D．

8．设点A是圆O上一定点，点B是圆O上的动点， 的夹角为 ，则 的概率为 （ ）

A． B． C． D．

9．设P、Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P⊙Q=

如果 ，则P⊙Q= （ ）

A． B．

C．[1，4] D．（4，+ ）

10．设F1、F2为双曲线 的两个焦点，过F1的直线交双曲线的同支于A、B两点，如果|AB|=m，则△AF2B的周长的最大值是 （ ）

A．4－m B．4 C．4+m D．4+2m

11．设 中三个不同的平面，m、n是两条不同的直线。在命题“ ，且 ，则m//n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题。

① ；② ；③ 。

可以填入的条件有 （ ）

A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③

12．设函数 ，则函数 的零点的个数为 （ ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答题前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13．已知实数x、y满足 的最小值是 。

14．已知曲线 处的切线为l，则过点P（－1，2）且与l垂直的直线方程为 。

15．聊城市某高级中学共有学生m名，编号为1，2，3，…，m（m∈N*）；该校共开设了n门选修课，编号为1，2，3，…，n（n∈N*）。定义记号 ；若第i号学生选修了第j号课程，则 =1；否则 =0；如果 ，则该等式说明的实际含义是 。

16．给出下列命题：

①样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度。

②若随机变量X~N（0.43，0.182），则此正态曲线x=0.43处达到峰值。

③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越差。

④市政府调查江北水城市民收入与市民旅游欲望的关系时，抽查了3000人。经过计算发现K2=6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府有97.5%的把握认为市民收入与旅游欲望有关系。

P（K2≥k） … 0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 0.001

k … 1.323 2.072 2.706 5.024 6.635 7.879 10.888

其中正确命题的序号是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上。）

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知向量m= 。

（Ⅰ）求函数 的单调区间；

（Ⅱ）如果先将 的图象向左平移 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为

原来的 倍，得到函数 的图象，若 为偶函数，求 的最小值。

18．（本小题满分12分）

某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点。

（Ⅰ）根据三视图，画出该几何体的直观图；

（Ⅱ）在直观图中，①证明：PD//面AGC；

②证明：面PBD⊥AGC。

19．（本小题满分12分）

某厂生产一种产品，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，该厂生产这种产品的次品率 与日产量x（单位：件）之满足关系

。

已知每生产一件合格品可盈利m元，但每生产一件次品将亏损 元。

（Ⅰ）判断日产量x超过94时，生产这种产品能否盈利？并说明理由；

（Ⅱ）当日产量x不超过94时，将该厂生产这种产品每天的盈利额y（元）表示成日产量x的函数；为了获得最高日盈利额，日产量应定为多少件？

20．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）k为何值时，函数 无极值；

（Ⅱ）当k>4时，确定k的值，使 的极小值为0。

21．（本小题满分12分）

根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为 y1，y2，…，yn，…，y2007。

（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；

（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}

的一个通项公式yn，并证明你的结论。

22．（本小题满分14分）

如图，已知圆O： 与y轴正半轴交于点P，A（－1，0），B（1，0），直线l与圆O切于点S（l不垂直于x轴），抛物线过A、B两点且以l为准线。

（Ⅰ）当点S在圆周上运动时，求证：抛物线的焦点Q始终在某一椭圆C上，并求出该

椭圆C的方程；

（Ⅱ）设M、N是（Ⅰ）中椭圆C上除短轴端点外的不同两点，且 ，

问：△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。

山东省聊城市2007年高考模拟试题

数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.B 2.B 3.D 4.B 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.D 11.C 12.A

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

13． 14．（理） ；（文） 15．3号学生选修了5门课程；

16．①②④

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17．解：（Ⅰ）

…………2分

由

∴ 的单调递增区间为

由

∴ 的单调递减区间为 …………6分

（Ⅱ）将 的图象向左移 个单位后得到的是函数

的图象 …………7分

然后横坐标变为原来的 倍，得到函数

的图象 …………9分

∵ 为偶函数，

∴ ∵ ，

∴当k=0时， 有最小值 ………………12分

18．解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图所示。 …………3分

（2）①证明：连结AC，BD交于点O，连结OG，因为G为PB的中点，

O为BD的中点，所以OG//PD。又OG 面AGC，PD 面AGC，

所以PD//面AGC。 ………………文8分，理6分

②连结PO，由三视图，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO。 又AO⊥BO，

所以AO⊥面PBD。 因为AO 面AGC，所以面PBD⊥面AGC …文12分，理9分

（理）③建立如图所示坐标系，由三视图知，PO= ，AB=2，AC=2 ，AO= ，

∴P（0，0， ），B（0， ，0），A（ ，0，0），

C（－ ，0，0），

设面PBA的法向量为n=（x，y，z）

∴

令x=1得y=1，z=1。

∴n=（1，1，1）

设面PBC的法向量为 ）

∴

令

∴m=（1，－1，－1）。

设面PAB与PBC的夹角为θ，

则

所以面PAB与PBC的夹角为余弦值为 ………………理12分

19．解：（Ⅰ）当x>94时，p= 。 ∴每日生产的合格品为 x件，次品为 x件。

∴合格品可盈利 元，次品共亏损 元。

∴ ，即日产量超过94件时，盈亏相抵，不能盈利 …………4分

（Ⅱ）当日产量 件时，

∴每日生产的合格品为 件，次品为 件。

∴ ……7

∴ ……9分

令 ，可得 （舍）。 …………10分

∵

∴x=84时，y有最大值。

∴为了获得最高日盈利额，日产量应定为84件。 …………12分

20．解：（Ⅰ）∵

∴ ………………理2分（文3分）

∵ 无极值，

∴ 恒成立。

∵ 同号。

∵ 的二次项系数为－2，

∴ ≤0恒成立，令 则k=4

∴k=4时， 无极值 ………………5分（文6分）

（Ⅱ）当k≠4时，令 …………（文7分）

①当k<4时，即 时，有

x （ ）

（ ，2）

2 （2，+∞）

－ 0 + 0 －

↘ 极小 ↗ 极大 ↘

令 ， ∴k=0 …………（理）9分

②当k>4时，即 >2时，有

x （ ）

2 （2， ）

（ ，+∞）

－ 0 + 0 －

↘ 极小 ↗ 极大 ↘

令 ∴k=8 …………11分

∴当k=0或k=8时， 有极小值0 ………………理12分

∴当k=8时， 有极小值0 ………………文12分

21．解：（Ⅰ）由框图，知数列

∴ …………3分（文4分）

（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80。

由此，猜想 …………5分（文6分）

证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2

∴

∴ ……………………（文8分）

∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。

∴ +1=3?3n－1=3n

∴ =3n－1（ ） ………………8分（文12分）

（Ⅲ）（理）zn=

=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）

=1×3+3×32+…+（2n－1）?3n－[1+3+…+（2n－1）]

记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）?3n，①

则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ②

①－②，得－2Sn=3+2?32+2?33+…+2?3n－（2n－1）?3n+1

=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）?3n+1

=2×

=

∴

又1+3+…+（2n－1）=n2

∴ …………12分

22．（Ⅰ）证明：设Q（x，y），如图所示，作AA′，BB′垂直于直线l，A′，B′为垂足，连结AQ，BQ，OS，则OS⊥l

∵OS是直角梯形AA′B′B的中位线，

∴|AA′|+|BB′|=2|OS|

由抛物线的定义，知|AA′|=|AQ|，|BB′|=|BQ|。

∴|QA|+|QB|=|AA′|+|BB′|=2|OS|=4>2=|AB|，……3分

由椭圆的定义，得焦点Q在以A，B为焦点的椭圆

上，且2a=4，2c=2，∴b2=3

∴椭圆C的方程为 …………5分

（Ⅱ）∵

∴P、M、N三点共线 ……………………6分

由题意，直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=kx+2，

代入椭圆方程 ，得

由 …………8分

设 ，由韦达定理，得 ，

∴

原点O到直线PN的距离为 …………10分

∴

………………13分

当且仅当 时，即k=± 时取等号。

∴△MON的面积有最大值 ………………14分

2012年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修加选修Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1.? 答题前，考试在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.? 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.? 第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

一．? 选择题

(1) 已知集合A={x︱x是平行四边形}，B={x︱x是矩形}，C={x︱x是正方形}，D{x︱x是菱形}，则

(2) 函数y= (x≥-1)的反函数为

(3) 若函数 是偶函数，则 =

（4）已知a为第二象限角，sina= ，则sin2a= ?（5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为

?

?

（6）已知数列｛a n ｝的前n项和为Sn, a1=1,Sn=2a n+1, 则sn=

? （7）

（7）6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有

A? 240种 B 360种? C480种 D720种

（8）已知正四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=2，CC 1 = ,E为CC 1 的中点，则直线AC 1 与平面BED的距离为

（9）△ABC中，AB边的高为CD, |a|=1,|b|=2,则

（10）已知F1、F2为双曲线 C：X 2 -Y 2 =2的左、右焦点，点p在c上，|PF 1 |=2|PF 2 |,则cos∠F 1 PF 2 =

（11）已知x=lnπ，y=log 5 2 ,z= ,则

A? x<y<z? Bz<x<y Cz<y<x? Dy<z<x

(12) 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF= ,动点p从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点p第一次碰到E时，p与正方形的边碰撞的次数为

A? 8? B 6 C 4 D 3

启用前

2012 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修 + 选修 Ⅰ ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1.? 答题前，考试在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.? 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.? 第Ⅰ卷共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

二 . 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在题中横线上

（注意：在试题卷上作答无效）

(13) 的展开式中 的系数为____________.

?

(14) 若x、y满足约束条件 则z = 3x – y 的最小值为_____________.

?

?

?

(15)当函数y=sinx- 取得值时，x=_____________.

?

?

(16)一直正方体ABCD- 中，E、F分别为 的中点，那么一面直线AE与 所成角的余弦值为____________.

?

三． 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）(本小题满分10分)（注意：在试题卷上作答无效）

△ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边a、b、c满足 ，求A。

（18）(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效）

已知数列{ }中， =1，前n项和 。

（Ⅰ）求

(Ⅱ)求 的通项公式。

（19）（本小题满分12分）（注意:在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，AC= PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。

?

?

?

?

（I） 证明PC 平面BED；

（II） 设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小

?

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（I） 求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（II）? 求开始第5次发球时，甲得分的概率。

?

（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数

（I） 讨论f（x）的单调性；

（II）? 设f（x）有两个极值点 若过两点 的直线I与x轴的交点在曲线 上，求α的值。

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知抛物线C： 与圆 有一个公共点A，且在A处两曲线的切线与同一直线

（I） 求r；

（II） 设m、n是异于 且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到 的距离。