2001年全国高考数学卷,2001高考数学题

1.有关数学高考题

2.谁能提供我2001年到2005年的全国数学高考试卷(理科),和答案?

3.历史上有哪些难度较高的高考数学题目

4.2001年人教版高中数学编写的怎么样

5.2001年全国数学联赛答案

很难。因为2001年四川高考题较为综合，需要考生综合运用各种数学知识进行解答，而且试卷结构较为复杂，阅读理解难度较大，部分文章涉及较为深入的话题，所以2001年四川高考题很难。高考，通常指高等学校招生全国统一考试，是中国大陆的一项全国性考试制度。

有关数学高考题

一、考纲要求： 辨析并修改病句，病句类型有：语序不当、搭配不当、成分残缺或赘余、结构混乱、表意不明、不合逻辑。 二、考点释要 本考点的考生主要立足于辨析与修改。从近年的高考试卷中可以看出本考点命题的主要方式有四种：（1）判断句子是否有语病；（2）让考生在原句上修改病句；（3）判断题目对病句的分析是否正确；（4）判断对病句的修改是否恰当。多以判断式的题型出现在第一卷中，如1999年、2000年、2001年全国高考题的第5题，有时也让考生动手修改，出现在二卷中，如1998年全国高考题的第32题。 病句种类繁多，"考试说明"对病句的类型明确界定为6种，为此我们应把握考查要点并切实领会实质，有针对性地进行考点复习。 三、知识点分解 病句类型： （一）语序不当 语序不当常见的情况有： 1、定语和中心语的位置颠倒： 例：我国棉花的生产，长期不能自给。（"棉花的生产"应为"生产的棉花"） 2、把实语放在状语的位置上： 例：广大青年表现出无比的进行改革的热情。（将"无比"的调至"热情"前） 3、把状语放在定语的位置上： 例：应该发挥广大青年的充分的作用。（将"充分"调至"发挥"前，并删掉一个"的"）。 4、多层定语语序不当： 例：展出几千年前刚出土的文物。（应将"几千年前"调至"文物"前后的"的"） 5、多层状语语序不当。 例：我们再也不是任意被列强欺侮的国家了。（应将"任意"调至"欺侮"之前） 6、关联词语位置不当： 例：他如果不能实事求是，事业就会受到损失。（"他"应移到"如果"的后面） 7、主客颠倒： 例：奥斯特洛夫斯基的《钢铁是怎样炼成的》对于中国青年是不陌生的。（应改为：中国青年对奥斯特洛夫斯基的。） 8、分句位置不当： 例：对于自己的路，他们在探索着他们在判断着，他们在寻找着，他们在思考着。（应改为：对于自己的路，他们在思考着，他们在判断着，他们在探索着，他们在寻找着。） （二）搭配不当。 1、主谓搭配不当： 例：他的革命精神时刻浮现在我眼前。（"精神"与"浮现"不能构成主谓关系，可将"精神"改为"形象"） 2、动宾搭配不当： 例：纪念三领先节的到来。（"纪念"的只能是"三八节"，不能是"到来"） 3、修饰语和中心语搭配不当： 例：我们严肃地研究了职工们的建议，又虚心地征求了专家们的意见。（"严肃"不能修饰"研究"，可以改为"认真"、"慎重"等） 4、主宾搭配不当： 例如：我们坚信，有这么一天，中国的农业和农业会成为发达的国家。（应将"国家"改为"行为） 5、关联词语搭配不当： 例：既然你来了，我也该走了。（"既然"和"也"不能搭配使用，应将"也"改为"就"） （三）成分残缺赘余 1、成分残缺 （1）缺主语： 例：由于她这样好的成绩，得到了老师和同学们的赞扬。（应改为"由于这样好的成绩，她得到了老师和同学们的赞扬"） （2）缺谓语 例：旧社会，劳动人民吃不饱，穿不暖的生活。（或去掉"的生活"，或在"吃"前加"过着） （3）缺宾语： 例：他们胸怀祖国，放眼世界，大力发扬了敢拼敢搏，终于夺得了冠军。（应在"敢搏"后加"精神"） （4）缺少必要的附加成分： 例：一开春，小麦就长得很好，获得了可喜的收获。（应在"获得"前加"夏季"以限制时间） （5）关联词语残缺： 例：这次学术会，收获很大，时间并不长。（应在"时间"前加"尽管"一词） 2、赘余 （1）主语多余 例：我们的革命前辈，为了人民的利益，他们流了多少血，献出了多少宝贵的生命。（前边有了主语"革命前辈"，因而"他们"不必要有。） （2）谓语多余： 例：同学们正在努力复习，迎接高考到来。（"迎接"的是"高考"，而不是"到来"，故应删去。） （3）宾语多余： 例：今天，我来到扬州瘦西湖的地方，游览了白塔、钧鱼台和五亭桥等风景点。（"的地方"多余，应去掉） （4）附加成份多余： 例：为精简字数，不得不略加删改一些。（"一些"与前"略加"重复，可以删掉一个） （四）结合混乱 （1）句式杂糅 例：你不认真学习，那怎么可能有好成绩是可想而知。（把反问句和判断句式糅在一起，破坏了句子结构和语气的完整。如果用反问句，应是"那怎么会有好的成绩呢？"如果用判断句，应是"成绩不好是可想而知的"。） （2）语句杂糅 例：上海文艺出版社会出版的《生存》，作者是一位蜇居海外二十多年的加拿大籍华裔作者之手。（是主谓谓语句和动词谓语句杂糅而成，要去掉句末的"作者之手"） （五）表意不明 1、指代不明： 例：有人主张接受，有人反对，他同意这种主张。（"这种主张"到底是指"接受"，还是"反对"，交代不清。） 2、句子歧义： 例：不到爸爸妈妈心里很着急。（究竟况是"妹妹"心里着急呢？还是"爸爸""妈妈"心里着急呢。还是"妈妈"心里着急呢？可在"爸爸"和"妈妈"中间加逗号，也可在"爸爸"前加逗号） （六）不合逻辑： 1、自相矛盾： 例如：他是多少个死难者中幸免的一个。（既然"幸免"，自然是没有死，怎么能说是"死难中的一个呢"？应改为：多少人死难了，他是幸免的一个。） 2、范围不清： 例：从事业的发展上看，还缺乏各项科学专家和各项人才。（各项人才包括科学家，不宜并列，应说"各学科的专家和其他人才"） 3、强加因果： 例：我两次看见他从这个工厂走出来，我才知道这个热心帮助病人的老人原来是个工人。（凭两次看见老人从工厂里走出来就断定他是工人，理由不充分。） 4、否定失当： 例：几年来，他无时无刻不忘搜集、整理民歌，积累了大量的资料。（"无时无刻"即"任何时候都"，句子表述刚好相反，可将"忘"改为"在"） 小结：以上对病句的分类并不严格，对于病句，不必死记其类型，只要多练习，能够发现语病并能够改正就可以了。 四、高考题型示例 1、下列各句中，没有语病的一句是（1999年全国高考考试题） A、今年春节期间，这个市的210辆消防车、3000多名消防官兵，放弃休假，始终坚守在各自执勤的岗位上。 B、《消费者权益保护法》深受广大消费者所欢迎，因为它强化了人们的自我保护意识，使消费者的权益得到了最大限度的保护。 C、她把积攒引导来的400元零花钱，资助给贫困地区的失学儿童赵长波，确保他能够支付读完小学的学费。 D、3月17日，6名委员因受贿丑闻被驱逐出国际奥委会。第二天，世界各大报纸关于这起震惊国际体坛的事件都作了详细报道。 简析：正确选项是C项。A项搭配不当，"官兵"可以放弃休假，坚守岗位，"消防车"则不能。B项属句式杂糅，应为"深受广大消费者欢迎"。D项介词搭配不当，应将"关于"改为"对于"。 2、下列各句中，没有语病的一句是（2000年全国高考考试题） A、这项网络短训班的学员，除北大本校人员外，还有来自清华大学等15年高校的教师、学生和科技工作者也参加了学习。 B、我们的报刊、杂志、电视和一切出版物，更有责任作出表率，杜绝用字不规范的现象，增强使用语言文字的规范意识。 C、在新的千年里，中华民族这条巨龙一定会昂首腾飞于无垠的天际，创造出令全世界惊异的奇迹变来。 D、这家工厂虽然规范不大，但曾两次荣获省科学大会奖，三次被评授予省优质产品称号，产品远销全国各地和东南亚地区。 简析：本题重点考查辨析语病的能力。正确答案是C项。A项属句式杂糅，可以说"学员除……外，还有清华大学……教师、学生和科技工作者。"也可以说"学员除……外，来自……也参加了学习。"将两种句式掺杂柔合在一起使用）必然造成结构上的混乱。B项不合逻辑，"一切出版物"包括"报刊、杂志"，因而不能将他们并列。D项搭配不当，这句话的主语是"工厂"，"规模不大""曾两次获省科学大会奖"可以指"这家工厂"，但"被授予省优质产品称号"则不能是"这家工厂"了。 3、下列各句中，没能语病的一句是（2001年全国高考题） A、在科学技术是第一生产力的观念深入人心的今天，谁能不信高科技会给人类带来福音？正因为这样，难怪骗子们也要浑水摸鱼，打出高科技的幌子了。 B、如何才能让大家都富起来呢？关键的问题是知识在起决定性作用。知识的贫乏必然造成财富的贫乏，财富的充足往往是以知识的充实为前提的。 C、由北京人民艺术剧院复排的大型历史话剧《蔡文姬》定于5月1日在首都剧场上演，日前正在紧张的排练之中。 D、近年来，我国加快了高等教育事业发展的速度和规模，高校将进一步扩大招生，并重点建设一批高水平的大学和学科。 简析：本题的正确答案为A项。B项犯了句式杂糅造成结构混乱的毛病。上文说"如何让大家都富起来呢"，下文就应接着说"要让知识起决定作用"，仍用未然语气，现在变成已然语气，显然前后失去照应。C项犯自相矛盾、不合逻辑的毛病。"日前"意思是"几天前"，而"正在……之中"则表示行为还在进行中，因而这两个词在时态上相矛盾，应将"日前"改为"目前"。D项犯了动宾搭配不当的毛病，说"加快速度"可以，但不能说"加快规模"，而只能说"扩大规模"。 五、方法总结 高考对病句的考查不要求考生死记病句类型，只要会找出毛病并修改即可，因此应做练习，掌握辨析与修改病句的方法，下面简单介绍辨析语病、修改病句的方法。 （一）辨析病句方法 1、语感审读法 调动语感，在审读的过程中，从感性上察觉语句的毛病，即按习惯的说法看是否别扭。如别扭，则注意分析比较，明辨原因，如以修改。例如： 不管气侯和地理环境都极端不利，登山队员仍然克服了困难，胜利攀登到顶峰。（"不管……都……"显得不合习惯，正确说法应是"不管……多么不利""尽管……非常不利"。 2、紧缩法 去掉句子的枝叶部分（定、状、补）紧缩出主干，看主干是否有毛病，如果主干无问题，再检查枝叶部分。 例如：他那崇高的革命品质经常浮现在我的脑海中。（主干为"品质浮现"，明显为主谓搭配不当。） 3、造句类比法 仿照原句的结构造日常用的句子，经过比较，有无问题便清楚了 例如： 这个经验值得文教工作者特别是中小学教师的重视。（原句结构较复杂，先压缩化简为"这值得他们的重视"。再比照它的结构造句："这值得他们的学习""这值得他们的参观"，这三个句子和日常说法相比多了一个"的"字，因此原句应将"老师的重视"中的"的"去掉） 4、逻辑意义分析法 有的语病从语法上不好找毛病，就得从各理上进行分析，这就是逻辑意义分析法。即从概念使用、判断、推理方法考虑是否得当，语句的前后顺序、句间关系是否合适。 例如：（1）该市有人不择手段仿造伪劣产品…… （2）凡是有杰出成就的人，都是在艰苦环境中磨炬成才的。 （1）句中"仿造伪劣产品"是不合事理的的，应改为"制造伪劣产品"或"仿造名牌产品"。（2）句中用了"凡是……都"这个全称肯定判断，言过其实，应改为"凡是"为"大都"，后边去掉"都"字。 （二）修改病句方法 可以归纳为字诀： 增（成分残缺的）删（多余的）换（用词不当的）移（语序不当的） 修改不是再造，切忌改变句子的本意。尤其应注意，能调整语序就不增删，能改一处的，决不改动两处，改病句也应简要、高效。 例： 1、探究成功者的足迹，大多受益于良好的家庭教育和良好的社会教育。 2、她那红润的脸蛋犹如盛开的梨花。 3、早晨6点钟，在通往机场的大街两旁已经站满了数万名迎送的人群。 4、为了防止树病造成的危害，园林工人逐一对公共场所、公园、广场、街道的树木进行排查。 5、通过中国男子足球队的表现，使我们认识到有良好的心态是非常重要的。 6、一个热爱读书的人，既然不能拥有舒适的房屋、宁静的夜晚，也会始终保持着一份纯洁的读书感情。 7、同学们对学校的教育课程改革交换了广泛的意见。 8、是否努力学习，使我们取得优秀成绩的保证。 9、我们在学习上应该树立不畏艰难的勇气。 10、中学生理解和阅读大量的文学名著，有利于开阔视野、陶冶情操。 改：1、探究成功者的足迹，他们的成功大多受益于良好的家庭教育和社会教育。 (缺少主语) 2、她那红润的脸蛋犹如盛开的桃花。 (常识性问题,梨花是白的) 3、早晨6点钟，通往机场的大街两旁已经站满了数万名迎送的人群。 (同1) 4、为了防止树病造成的危害，园林工人逐一对公园、广场、街道的树木进行排查。 (公园,街道等就是公共场所,重复) 5、中国男子足球队的表现，使我们认识到有良好的心态是非常重要的。(介宾短语不做主语) 6、一个热爱读书的人，即使不能拥有舒适的房屋、宁静的夜晚，也会始终保持着一份纯洁的读书感情。 (虚词使用不当) 7、同学们对学校的教育课程改革广泛地交换了意见。(没有广泛的意见之说) 8、是否努力学习，是我们能否取得优秀成绩的保证。(条件复句 ,前后应保持一致) 9、我们在学习上应该树立不畏艰难的信心。 (动宾搭配不当) 10、中学生理解和阅读大量文学名著，有利于开阔视野、陶冶情操。 (文学名著要读了才有用)

谁能提供我2001年到2005年的全国数学高考试卷(理科),和答案?

1. （05年广东卷）已知数列 满足 ， ， …．若 ，则(B)

（A） （B）3（C）4（D）5

2. （05年福建卷）3．已知等差数列 中， 的值是 （ A ）

A．15 B．30 C．31 D．64

3. （05年湖南卷）已知数列 满足 ，则 = （B ）

A．0 B． C． D．

4. （05年湖南卷）已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则

= （C）

A．2 B． C．1 D．

5. （05年湖南卷）设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（C）

A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx

6. （05年江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=(C )

( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189

7. (05年全国卷II) 如果数列 是等差数列，则(B )

(A) (B) (C) (D)

8. (05年全国卷II) 11如果 为各项都大于零的等差数列，公差 ，则(B)

(A) (B) (C) (D)

9. （05年山东卷） 是首项 =1，公差为 =3的等差数列，如果 =2005，则序号 等于(C )

（A）667 （B）668 （C）669 （D）670

10. （05年上海）16．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3

一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2

i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3

是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2 12-3 12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1

的数阵中, b1+b2+┄+b120等于 3 1 2

3 2 1

[答]( C )

(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720

11. （05年浙江卷） ＝( C )

(A) 2 (B) 4 (C) (D)0

12. (05年重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)

(A) 4；

(B) 5；

(C) 6；

(D) 7。

13、（04年浙江文理(3)） 已知等差数列 的公差为2,若 成等比数列, 则 =

(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10

14、（04年全国卷四文理6）．等差数列 中， ，则此数列前20项和等于

A．160 B．180 C．200 D．220

15、（04年全国三文（4））等比数列 中 ，则 的前4项和为

A. 81 B. 120 C. 125 D. 192

16、（04年天津卷理8.） 已知数列 ，那么“对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数列”的

A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

17、（04年全国卷三理⑶）设数列 是等差数列， ，Sn是数列 的前n项和，则（ ）

A.S4＜S5 B.S4＝S5 C.S6＜S5 D.S6＝S5

18．（2003天津文）5．等差数列 （ C ）

A．48 B．49 C．50 D．51

19．（2001天津）若Sn是数列{an}的前n项和，且 则 是 （ B ）

（A）等比数列，但不是等差数列 （B）等差数列，但不是等比数列

（C）等差数列，而且也是等比数列 （D）既非等比数列又非等差数列

20、（04年湖北卷理8文9）．已知数列{ }的前n项和 其中a、b是非零常数，则存在数列{ }、{ }使得（ ）

A． 为等差数列，{ }为等比数列

B． 和{ }都为等差数列

C． 为等差数列，{ }都为等比数列

D． 和{ }都为等比数列

21、（04年重庆卷理9）． 若数列 是等差数列，首项 ，则使前n项和 成立的最大自然数n是：（ ）

A 4005 B 4006 C 4007 D 4008

二、填空题

1、（05年广东卷）

设平面内有n条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用 表示这n条直线交点的个数，则 _____5________；当n＞4时， ＝__ ___________．

2、. （05年北京卷）已知n次多项式 ,

如果在一种算法中，计算 （k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算 的值共需要 n(n＋3) 次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法： （k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算 的值共需要6次运算，计算 的

值共需要 2n 次运算．

3. （05年湖北卷）设等比数列 的公比为q，前n项和为S?n，若Sn+1,S?n，Sn+2成等差数列，则q的值为 -2 .

4. (05年全国卷II) 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______216 __．

5. （05年山东卷）

6. （05年上海）12、用 个不同的实数 可得到 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 行的数阵。对第 行 ，记 ， 。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， =_-1080_________。

7、计算： =_3 _________。

8. （05年天津卷）设 ,则

9、 （05年天津卷）在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 ，

则 =_2600_ ___.

10. (05年重庆卷) = -3 .

11、（04年上海卷理12） 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.（①、④）

12（04年江苏卷15）.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn= (对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是__2

13（04年北京文理（14））定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为___，且（文：这个数列的前21项和 的值为_____）（理：这个数列的前n项和 的计算公式为__（ 3 ；（文：52）理：当n为偶数时， ；当n为奇数时， ）

三、解答题

1.（05年北京卷）

设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 ,

记 ，n＝＝l，2，3，…?．

（I）求a2，a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；

（III）求 ．

解：（I）a2＝a1+ =a+ ，a3= a2= a+ ；

（II）∵ a4=a3+ = a+ , 所以a5= a4= a+ ,

所以b1=a1－ =a－ , b2=a3－ = (a－ ), b3=a5－ = (a－ ),

猜想：{bn}是公比为 的等比数列?

证明如下：

因为bn+1＝a2n+1－ = a2n－ = (a2n－1－ )= bn, (n∈N*)

所以{bn}是首项为a－ , 公比为 的等比数列?

（III） .

2.（05年北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1， ，n=1，2，3，……，求

（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；

（II） 的值.

解：（I）由a1=1， ，n=1，2，3，……，得

， ， ，

由 （n≥2），得 （n≥2），

又a2= ，所以an= (n≥2),

∴ 数列{an}的通项公式为 ；

（II）由（I）可知 是首项为 ，公比为 项数为n的等比数列，∴ =

3．（05年福建卷）

已知{ }是公比为q的等比数列，且 成等差数列.

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{ }是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.

解：（Ⅰ）由题设

（Ⅱ）若

当 故

若

当

故对于

4. （05年福建卷）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+ 我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；

（Ⅱ）设数列{bn?}满足b1=－1, bn+1= ，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；

（Ⅲ）若 ，求a的取值范围.

（I）解法一：

故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}

5. （05年湖北卷）设数列 的前n项和为Sn=2n2， 为等比数列，且

（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；

（Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和Tn.

解：（1）：当

故{an}的通项公式为 的等差数列.

设{bn}的通项公式为

故

（II）

两式相减得

6. （05年湖北卷）已知不等式 为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当 时，对任意b>0，都有

解：（Ⅰ）证法1：∵当

即

于是有

所有不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式

（i）当n=3时， 由

知不等式成立.

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（i）、（ii）知，

又由已知不等式得

（Ⅱ）有极限，且

（Ⅲ）∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有

7. （05年湖南卷）已知数列 为等差数列，且

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）证明

（I）解：设等差数列 的公差为d.

由 即d=1.

所以 即

（II）证明因为 ，

所以

8. （05年湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不

要求证明）

（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的

最大允许值是多少？证明你的结论.

解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为

（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得

因为x1>0，所以a>b.

猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.

（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*

由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知

0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.

而x1∈(0, 2)，所以

由此猜测b的最大允许值是1.

下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*

①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),

则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk?)>0.

又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,

所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

9. （05年江苏卷）设数列｛an｝的前项和为 ,已知a1=1, a2=6, a3=11,且 , 其中A,B为常数.

(Ⅰ)求A与B的值;

(Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列;

(Ⅲ)证明不等式 .

解：(Ⅰ)由 ， ， ，得 ， ， ．

把 分别代入 ，得

解得， ， ．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ，即

， ①

又 ． ②

②-①得， ，

即 ． ③

又 ． ④

④-③得， ，

∴ ，

∴ ，又 ，

因此，数列 是首项为1，公差为5的等差数列．

(Ⅲ)由(Ⅱ)知， ．考虑

．

．

∴ ．

即 ，∴ ．

因此， ．

10. （05年辽宁卷）已知函数 设数列 }满足 ，数列 }满足

（Ⅰ）用数学归纳法证明 ；

（Ⅱ）证明

解：（Ⅰ）证明：当 因为a1=1，

所以 ………………2分

下面用数学归纳法证明不等式

（1）当n=1时，b1= ，不等式成立，

（2）假设当n=k时，不等式成立，即

那么 ………………6分

所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

所以

…………10分

故对任意 ………………（12分）

11. (05年全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 的首项 ，前n项和为 ，且 。

（Ⅰ）求 的通项；

（Ⅱ）求 的前n项和 。

解：（Ⅰ）由 得

即

可得

因为 ，所以 解得 ，因而

（Ⅱ）因为 是首项 、公比 的等比数列，故

则数列 的前n项和

前两式相减，得

即

12. (05年全国卷Ⅰ)

设等比数列 的公比为 ，前n项和 。

（Ⅰ）求 的取值范围；

（Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小。

解：（Ⅰ）因为 是等比数列，

当

上式等价于不等式组： ①

或 ②

解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.

综上，q的取值范围是

（Ⅱ）由 得

于是

又∵ >0且－1< <0或 >0

当 或 时 即

当 且 ≠0时， 即

当 或 =2时， 即

13. (05年全国卷II) 已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．

(Ⅰ) 证明 为等比数列；

(Ⅱ) 如果数列 前3项的和等于 ，求数列 的首项 和公差 ．

(I)证明：∵ 、 、 成等差数列

∴2 = + ，即

又设等差数列 的公差为 ，则( － ) = ( －3 )

这样 ，从而 ( － )=0

∵ ≠0

∴ = ≠0

∴

∴ 是首项为 = ，公比为 的等比数列。

(II)解。∵

∴ =3

∴ = =3

14.( 05年全国卷II)

已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．

(Ⅰ) 证明 为等比数列；

(Ⅱ) 如果无穷等比数列 各项的和 ，求数列 的首项 和公差 ．

(注：无穷数列各项的和即当 时数列前 项和的极限)

解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 得

即 ，得 因

当 =0时，{an}为正的常数列 就有

当 = 时， ,就有

于是数列{ }是公比为1或 的等比数列

（Ⅱ）如果无穷等比数列 的公比 =1，则当 →∞时其前 项和的极限不存在。

因而 = ≠0，这时公比 = ，

这样 的前 项和为

则S=

由 ，得公差 =3，首项 = =3

15. (05年全国卷III)

在等差数列 中，公差 的等差中项.

已知数列 成等比数列，求数列 的通项

解：由题意得： ……………1分

即 …………3分

又 …………4分

又 成等比数列,

∴该数列的公比为 ，………6分

所以 ………8分

又 ……………………………………10分

所以数列 的通项为 ……………………………12分

16. （05年山东卷）

已知数列 的首项 前 项和为 ，且

（I）证明数列 是等比数列；

（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较 与 的大小.

解：由已知 可得 两式相减得

即 从而 当 时 所以 又 所以 从而

故总有 ， 又 从而 即数列 是等比数列；

（II）由（I）知

因为 所以

从而 =

= - =

由上 - =

=12 ①

当 时，①式=0所以 ；

当 时，①式=-12 所以

当 时， 又

所以 即① 从而

17．(05年上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,

其中a1=250,d=50,则Sn=250n+ =25n2+225n,

令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,

其中b1=400,q=1.08,则bn=400?(1.08)n-1?0.85.

由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)?50>400?(1.08)n-1?0.85.

由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

18. （05年天津卷）

已知 .

（Ⅰ）当 时，求数列 的前n项和 ；

（Ⅱ）求 .

（18）解：（Ⅰ）当 时， ．这时数列 的前 项和

． ①

①式两边同乘以 ，得 ②

①式减去②式，得

若 ，

，

若 ，

（Ⅱ）由（Ⅰ），当 时， ，则 ．

当 时，

此时， ．

若 ， ．

若 ， ．

19. （05年天津卷）若公比为c的等比数列｛ ｝的首项 ＝1且满足： （ ＝3，4，…）。

（I）求c的值。

（II）求数列｛ ｝的前 项和 。

20. （05年浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，了＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．

解：由题意，得 由(1)(2)两式，解得

将 代入(3),整理得

解得 或

故 , 或

经验算，上述两组数符合题意。

21（05年浙江卷）设点 ( ，0)， 和抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－ ， 由以下方法得到：

x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点 在抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn上，点 ( ，0)到 的距离是 到 上点的最短距离．

(Ⅰ)求x2及C1的方程．

(Ⅱ)证明{ }是等差数列．

解：（I）由题意，得 。

设点 是 上任意一点，则

令 则

由题意，得 即

又 在 上，

解得

故 方程为

(II)设点 是 上任意一点，则

令 ，则 .

由题意得g ，即

又

即 （*）

下面用数学归纳法证明

①当n=1时， 等式成立。

②假设当n=k时，等式成立，即

则当 时，由（*）知

又

即当 时，等式成立。

由①②知，等式对 成立。

是等差数列。

22. (05年重庆卷)数列{an}满足a1?1且8an?1?16an?1?2an?5?0 (n?1)。记 (n?1)。

(1) 求b1、b2、b3、b4的值；

(2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。

解法一：

（I）

（II）因 ，

故猜想

因 ，（否则将 代入递推公式会导致矛盾）。

∵

故 的等比数列.

,

解法二：

（Ⅰ）由

整理得

（Ⅱ）由

所以

故

由 得

故

解法三：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）

从而

故

23. (05年重庆卷)数列{an}满足 .

（Ⅰ）用数学归纳法证明： ；

（Ⅱ）已知不等式 ，其中无理数e=2.71828….

（Ⅰ）证明：（1）当n=2时， ，不等式成立.

（2）假设当 时不等式成立，即

那么 . 这就是说，当 时不等式成立.

根据（1）、（2）可知： 成立.

（Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有

两边取对数并利用已知不等式得

故

上式从1到 求和可得

即

（Ⅱ）证法二：

由数学归纳法易证 成立，故

令

取对数并利用已知不等式得

上式从2到n求和得

因

故 成立

24. （05年江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.

解：方法一：先考虑偶数项有：

………

同理考虑奇数项有：

………

综合可得

方法二：因为

两边同乘以 ，可得：

令

所以

………

又

∴

∴

25. （05年江西卷）

已知数列

（1）证明

（2）求数列 的通项公式an.

解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

∴ ，命题正确.

2°假设n=k时有

则

而

又

∴ 时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时， ∴ ；

2°假设n=k时有 成立，

令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设

有： 即

也即当n=k+1时 成立，所以对一切

（2）下面来求数列的通项： 所以

,

又bn=－1，所以

26、（04年全国卷四文18）．已知数列{ }为等比数列， （Ⅰ）求数列{ }的通项公式；

（Ⅱ）设 是数列{ }的前 项和，证明

解：（I）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4. 依题意，得方程组a1q=6, a1q4=162.解此方程组，得a1=2, q=3.故数列{an}的通项公式为an=2?3n－1

（II）

27、（04年全国三文⒆）设公差不为零的等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且 , ，求数列{an}的通项公式.

解：设数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1，由已知得： .解之得： ， 或 （舍）

28（04年全国卷三理(22)）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1.⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；

⑵求数列{an}的通项公式；⑶证明：对任意的整数m>4，有

解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2 a2=0；

当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得： ，化简得：

上式可化为： ，故数列{ }是以 为首项, 公比为2的等比数列.故 ∴

数列{ }的通项公式为：

⑶由已知得：

. 故 ，( m>4)

29、（04年天津卷文20. ）设 是一个公差为 的等差数列，它的前10项和 且 ， ， 成等比数列。（1）证明 ；（2）求公差 的值和数列 的通项公式

证明：因 ， ， 成等比数列，故 ，而 是等差数列，有 ，

于是 ，即 ，化简得

（2）解：由条件 和 ，得到 ，由（1）， ，代入上式得 ，故 ， ，

30（04年浙江卷文（17））、已知数列 的前n项和为 （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求证数列 是等比数列

解: (Ⅰ)由 ,得 ，∴ ，又 ,即 ,得 .(Ⅱ)当n>1时, 得 所以 是首项 ,公比为 的等比数列

31（04年广东卷17）. 已知 成公比为2的等比数列( 也成等比数列. 求 的值

解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α，∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列

当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，

32（04年湖南文20）． 已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列.（I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n

（Ⅰ）证明 由 成等差数列， 得 ，即 变形得 所以 （舍去）.由

得

所以12S3，S6，S12－S6成等比数列

（Ⅱ）解：

即 ①

①× 得：

所以

33、（04年江苏卷20）.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项 32 ，公差 ，求满足 的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有 成立

解：（1） ；（2） 或 或

34（04年全国卷一理15）．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项

（ 答案 ）

35（04年全国卷一理22）．已知数列 ，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式

解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.

(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,

……a3－a1=3+(－1).

所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],

由此得a2k+1－a1= (3k－1)+ [(－1)k－1],于是a2k+1=

a2k= a2k－1+(－1)k= (－1)k－1－1+(－1)k= (－1)k=1

{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an?= 当n为偶数时，

36（04年全国卷一文17）． 等差数列{ }的前n项和记为Sn.已知

（Ⅰ）求通项 ；（Ⅱ）若Sn=242，求n

解：（Ⅰ）由 得方程组 解得

所以 （Ⅱ）由 得方程

解得

37（04年全国卷二理（19））、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ Sn（n＝1，2，3，…）

证明：(Ⅰ)数列{ }是等比数列；(Ⅱ)Sn＋1＝4an

证（I）由a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3，…)，知a2= S1=3a1, , ,∴

又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，…),则Sn+1-Sn= Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，…).故数列{ }是首项为1，公比为2的等比数列

证（II） 由（I）知， ，于是Sn+1=4(n+1)? =4an(n )

又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an

38（04年全国卷二文（17））、已知等差数列{an}，a2＝9，a5 ＝21

(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)令bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn

解：a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1；{bn}是首项为32公比为16的等比数列，Sn= .

历史上有哪些难度较高的高考数学题目

里面有2000到2002年的！

也就在这里面的了！2003年的！这个里面还有更多的那年的试题（）

这里有2004年的！

这是2005年的！（）这里有更多的2005年的！

你就慢慢的看吧！

2001年人教版高中数学编写的怎么样

恢复高考的44年来，一共有3次高考数学特别难，被称为数学难度巅峰。

（一）年高考数学

年的高考数学被很多人认为是历史上最难的一次数学高考，每道题看起来都像是奥数题。很多高材生出了考场后面如死灰，内心十分绝望。

据几位当年参加过高考的人回忆，其中一位考生，那年高考他数学考了13分，但还是上了一所985大学。另一位同学高考理科数学考了41分，但这个成绩已经不低了，他印象中大题没有一个做完整的。最后，这位同学总分考了453分，还高出本科线13分。

（二）1999年高考数学

1999年的全国数学卷平均分只有60分。该年高考主打创新思维，并且把数学与生活紧密联系，并且了传统出题的局限性，如果思维不够活跃的话，很难得到高分。

这一年，教育部颁发了《关于进一步深化普通高等学校招生考试改革的意见》，明确指出“高考内容的改革是高考改革的重点”，要求“更加注重对考生能力和素质的考查”，“在试题设计上增加应用型和能力性的题目”。

在这样的时代和政策背景下，1999年是一个关键的年份，正面临着新旧教材的更替之年，需要体现新高考对数学教学的要求，也对人才的选拔提出新的标准。所以这一年的“难”，更多的体现在对数学考试的创新上，要求学生进一步打破死记硬背的学习方式，综合培养自己各方面的数学能力。

（三）2003年高考数学

2003年爆发了著名的“非典”，事实上，原本每年高考都在7月份举行，由于各地天气炎热，导致很多学生发挥失常甚至中暑。为了避免这种情况，在非典爆发之前，教育部就已经下发政策，将高考时间提前到6月份考试。突如其来的非典导致了绝大多数学生复习期间中途断课，但是出于政策的平稳考虑，高考依然在6月份举行。

在这样的背景下，613万考生在那年迎来了后来被称为＂史上最难高考年与最大惨案＂事件。难，一方面是体现在时间上，非典疫情导致许多学校在4月停课并且高考比起往年还提前了一个月。

另一方面就体现在了试卷难度上，那年的各科高考试卷难度比起往年都有所增加，而数学更是让无数考生以泪洗面，据说那年数学的平均分仅仅只有60多分，也因此被无数考生称为高考数学＂最大惨案＂，其中江苏卷更是被作为话题讨论到了今日。

2001年全国数学联赛答案

2001年人教版高中数学编写的很好。根据查询相关公开信息显示，2001年高考数学试题大多数源于课本，是课本例题或习题的类比、改造、延伸和拓展。事实上，数学概念和定义及其性质是解决数学问题的起点。

2001年全国高中数学联赛试题讲解

广隶 段智毅

与前三届相同，今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分，但是今年的试题明显比去年难，陕西赛区的平均成绩下降了近60分．为了体现本栏目的宗旨，下面仅对今年的联赛试题进行讲解，供参考．

?一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

?1.已知a为给定的实数，那么集合M＝｛x｜x2－3x－a2＋2＝0，x∈R｝的子集的个数为（ ）．

?A．1 B．2 C．4 D．不确定

?讲解：M表示方程x2－3x－a2＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4a2＞0，所以M含有2个元素．故集合M有22＝4个子集，选C．

?2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．

?命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；

?命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．

?以上三个命题中正确的有（ ）．

?A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

?讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选B．

?3．在四个函数y＝sin｜x｜、y＝cos｜x｜、y＝｜ctgx｜、y＝lg｜sinx｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）．

?A．y＝sin｜x｜ B．y＝cos｜x｜

?C．y＝｜ctgx｜ D．y＝lg｜sinx｜

?讲解：可考虑用排除法．y＝sin｜x｜不是周期函数（可通过作图判断），排除A；y＝cos｜x｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上是减函数，排除B；y＝｜ctgx｜在（0，π／2）上是减函数，排除C．故应选D．

?4．如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（ ）．

?A．k＝8 B．0＜k≤12

?C．k≥12 D．0＜k≤12或k＝8

?讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论D．

?说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除A、B、C．

?5．若（1＋x＋x2）1000的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2000x2000，则a0＋a3＋a6＋a9＋…＋a1998的值为（ ）．

?A．3333? B．3666? C．3999? D．32001?

?讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法．

?取ω＝－（1／2）＋（／2）i，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0．

?令x＝1，得

?31000＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2000； ①

?令x＝ω，得

?0＝a0＋a1ω＋a2ω2＋…＋a2000ω2000； ②

?令x＝ω2，得

?0＝a0＋a1ω2＋a2ω4＋a3ω6＋…＋a2000ω4000． ③

?①＋②＋③得

?31000＝3（a0＋a3＋a6＋…＋a1998）．

?∴a0＋a3＋a6＋…＋a1998＝3999，选C．

?6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．

?A．2枝玫瑰价格高 B．3枝康乃馨价格高

?C．价格相同 D．不确定

?讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y元，则由题设得

6x＋3y＞24，

①

4x＋5y＜22．

②

?问题转化为在条件①、②的约束下，比较2x与3y的大小．有以下两种解法：

?解法1：为了整体地使用条件①、②，令6x＋3y＝a，4x＋5y＝b，联立解得x＝（5a－3b）／18，y＝（3b－2a）／9．

?∴2x－3y＝…＝（11a－12b）／9．

?∵a＞24，b＜22，

?∴11a－12b＞11×24－12×22＝0．

?∴2x＞3y，选A．

图1

?解法2：由不等式①、②及x＞0、y＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2x－3y＝2c，则c表示直线l：2x－3y＝2c在x轴上的截距．显然，当l过点（3，2）时，2c有最小值为0．故2x－3y＞0，即2x＞3у，选A．

?说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：

?已知函数M＝f（x）＝ax2－c满足：－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，那么f（3）应满足（ ）．

?A．－7≤f（3）≤26 B．－4≤f（3）≤15

?C．－1≤f（3）≤20 D．－28／3≤f（3）≤35／3

?（2）如果由条件①、②先分别求出x、y的范围，再由2x－y的范围得结论，容易出错．上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文〔1〕．

?二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

?7．椭圆ρ＝1／（2－cosθ）的短轴长等于______________．

?讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率e和焦参数p（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长．

解法1：由

ρ（0）＝a＋c＝1，

得

a＝2／3，

ρ（π）＝a－c＝1／3，

c＝1／3．

?从而b＝／3，故2b＝2／3．

?解法2：由e＝c／a＝1／2，p＝b2／c＝1及b2＝a2－c2，得b＝／3．从而2b＝2／3．

?说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题．

?8．若复数z1、z2满足｜z1｜＝2，｜z3｜＝3，3z1－2z2＝（3／2）－i，则z1·z2＝______________．

?讲解：参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点，而且也不繁．

?令z1＝2（cosα＋isinα），z2＝3（cosβ＋isinβ），则由3z1－2z2＝（3／2）－i及复数相等的充要条件，得

6（cosα－cosβ）＝3／2，

6（sinα－sinβ）＝－1，

即

－12sin（（α＋β）／2）sin（（α－β）／2）＝3／2，

12cos（（α＋β）／2）sin（（α－β）／2）＝－1．

?二式相除，得tg（α＋β）／2）＝3／2．

?由万能公式，得

?sin（α＋β）＝12／13，cos（α＋β）＝－5／13．

?故z1·z2＝6〔cos（α＋β）＋isin（α＋β）〕

?＝－（30／13）＋（72／13）i．

?说明：本题也可以利用复数的几何意义解．

?9．正方体ABCD－A1B1C11的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是______________．

?讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法．

图2

?为了保证所作出的表示距离的线段与A1C1和BD1都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内．为此，作正方体的对角面BDD1B1，则A1C1⊥面BDD1B1，且BD1面BDD1B1．设A1C1∩B1D1＝0，在面BDD1B1内作OH⊥BD1，垂足为H，则线段OH的长为异面直线A1C1与BD1的距离．在Rt△BB1D1中，OH等于斜边BD1上高的一半，即OH＝／6．

?10．不等式｜（1／log1／2x）＋2｜＞3／2的解集为______________．

?讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得log1／2x＜－2，或－2／7＜log1／2x＜0，或log1／2x＞0．

?从而x＞4，或1＜x＜22／7，或0＜x＜1．

?11．函数y＝x＋的值域为______________．

?讲解：先平方去掉根号．

?由题设得（y－x）2＝x2－3x＋2，则x＝（y2－2）／（2y－3）．

?由y≥x，得y≥（y2－2）／（2y－3）．

?解得1≤y＜3／2，或y≥2．

?由于能达到下界0，所以函数的值域为〔1，3／2）∪〔2，＋∞）．

?说明：（1）参考答案在求得1≤y＜3／2或y≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要．

?（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．

图3

?12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．

?讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F．按间隔三块A、C、E种植植物的种数，分以下三类．

?（1）若A、C、E种同一种植物，有4种种法．当A、C、E种植后，B、D、E可从剩余的三种植物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法．此时共有4×3×3×3＝108种方法．

?（2）若A、C、E种二种植物，有P42种种法．当A、C、E种好后，若A、C种同一种，则B有3种方法，D、F各有2种方法；若C、E或E、A种同一种，相同（只是次序不同）．此时共有P43×3（3×2×2）＝432种方法．

?（3）若A、C、E种三种植物，有P43种种法．这时B、D、F各有2种种方法．此时共有P43×2×2×2＝192种方法．

?根据加法原理，总共有N＝108＋432＋192＝732种栽种方案．

?说明：本题是一个环形排列问题．

?三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

?13．设｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，且b1＝a12，b2＝a22，b3＝a32（a1＜a2）．又（b1＋b2＋…＋bn）＝＋1，试求｛an｝的首项与公差．

?讲解：这是一个有关等差、等比数列的基本问题．数列｛an｝与｛bn｝的前三项满足bi＝ai2（i＝1，2，3），由此可确定数列｛an｝的首项a1与公差d的关系；由（b1＋b2＋…＋bn）＝＋1便可求出a1和d的值．

?设｛an｝的公差为d，由a1＜a2，得d＞0．

?由b22＝b1b3，得a24＝a12a32．

?∴a22＝a1a3（舍去，否则a1＝a2＝a3），

? 或a22＝－a1a3．

?∴（a1＋d）2＝－a1（a1＋2d），

?即2a12＋4a1d＋d2＝0．

?解得d＝（－2±）a1．

?若d＝（－2－）a1，则q＝a22／a12＝（＋1）2＞1，不符合要求．

?若d＝（－2＋）a1，则q＝a22／a12＝（－1）2．

?由（b1＋b2＋…＋bn）＝＋1，得

?b1／（1－q）＝＋1，

?即a12／（1－（－1））2＝＋1．解得a12＝2．

?由a22＝－a1a3及a1＜a2知a1＜0．

?∴a1＝－，d＝（－2＋）a1＝2－2．

?14．设曲线C1：（x2／a2）＋y2＝1（a为正常数）与C2：y2＝2（x＋m）在x轴上方仅有一个公共点P．

?（1）求实数m的取值范围（用a表示）；

?（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜1／2时，试求△OAP的面积的最大值（用a表示）．

?讲解：（1）可将曲线C1与C2的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组成的方程组解的个数问题．

由

（x2／a2）＋y2＝1，

消去y，得

y2＝2（x＋m）

?问题转化为方程①在区间（－a，a）上有惟一解或两个相等的实根．设f（x）＝x2＋2a2x＋2a2m－a2．

?当Δ＝0，即m＝（a2＋1）／2时，xP＝－a2．由－a＜－a2＜a，得0＜a＜1．这时方程①有等根．

?当f（－a）·f（a）＜0，即－a＜m＜a时，方程①在区间（－a，a）内有一个根（另一根在区间外）．

?当f（－a）＝0，即m＝a时，xP＝a－2a2．由－a＜a－2a2＜a，得0＜a＜1．这时方程①在区间（－a，a）内有惟一解；当f（a）＝0，即m＝－a时，xP＝－a－2a2．由－a＜－a－2a2＜a，得a∈．故m≠－a．

?综上所述，当0＜a＜1时，m＝（a2＋1）／2，或－a＜m≤a；当a≥1时，－a＜m＜a．

?（2）∵A（－a，0），∴S△OAP＝（1／2）ayP．

?当0＜a＜1／2时，由（1）知－a＜m≤a．由方程①得xP＝－a2＋a．

?显然，xP＞0，从而yP＝．

?要使yP最大，则xP应最小．易知，当m＝a时，（xP）min＝a－2a2．从而（yP）max＝2．故（S△OAP）max＝a．

?当m＝（a2＋1）／2时，xP＝－a2．从而yP＝，故S△OAP＝（1／2）a．

?下面比较a与（1／2）a的大小．

?∵（）2－（（1／2））2

?＝…＝－（1／4）（3a－1）（a－1）．

?∴当0＜a≤1／3时，a≤（1／2）a；

? 当1／3＜a＜1／2时，a＞（1／2）a．

故（S△OAP）max＝

（1／2）a

（0＜a≤1／3），

a

（1／3＜a＜1／2）．

?说明：本题考查学生思维的严谨性．

图4

?15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6（a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6）的电阻组装成一个如图4的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论． ?

讲解：设6个电阻的组件（如图5）的总电阻为RFG．当Ri＝ai（i＝3，4，5，6），R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小．

?用逐步调整法证明如下：

图5

?（1）当R1、R2并联时，所得组件阻值R满足1／R＝（1／R1）＋（1／R2）．若交换R1、R2，R不变，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．

?（2）设三个电阻的组件（如图6）的总电阻为RAB，则

?RAB＝（R1R2／（R1＋R2））＋R3＝（R1R2＋R1R3＋R2R3）／（R1＋R2）．

?显然，R1＋R2越大，则RAB越小，所以为使RAB最小，必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．

图6

图7

?（3）设四个电阻的组件（如图7）的总电阻为RCD，则

?1／RCD＝（1／RAB）＋（1／R4）

?＝（R1R2＋R1R3＋R1R4＋R2R3＋R2R4）／（R1R2R4＋R1R3R4＋R2R3R4）．

?记S1＝，S2＝，则S1、S2为定值．于是RCD＝（S2－R1R2R3）／（S1－R3R4）．

?显然，当R3R4最小，且R1R2R3最大时，RCD最小．故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜R1，才能使总电阻的阻值最小．

?（4）回到图5，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由（3）知必须使R6＜R5；且由（1）知应使RCE最小．由（2）知，要使RCE最小，必须使R5＜R4，且应使RCD最小．而由（3）知，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1．

?综上所述，按照图5选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小．

?说明：根据电学知识，两个电阻并联，其组件的阻值小于这两个电阻中阻值最小的一个，所以，本题也可以倒过来思考．