高考数列放缩,高考数列放缩真题及答案

1.数列的放缩和构造

2.数列放缩法技巧全总结

我的思路是这样的：

a1=1，所以也就要证明1/a2+...+1/an<1/2，于是很容易想到尝试一下，能不能搞成a2>4,a3>8,an>2^n，这样1/4+1/8+...肯定小于1/2。事实上，这样成功了。

下证明：当n>1时，an>2^n，即3^n>2^(n+1)，遇到这种情况最简单的处理莫过于数学归纳法。

n=2时，9>8，成立

当n=k时成立，则当n=k+1时，由于3^k>2^(k+1)，显然有3^(k+1)>2^(k+2)，因此对n=k+1成立

所以对一切n>1，有an>2^n

所以原始<1/1+1/4+1/8+...+1/2^n<3/2

数列的放缩和构造

bn=1/（anan+1an+2）

=1/4(1/anan+1-1/an+1an+2),

b1+b2+....bn=1/4(1/2x4-1/4x6+1/4x6+...........1/2n(2n+2)-1/(2n+2)(2n+4))=1/32-1/4(2n+2)(2n+4)<1/32

数列放缩法技巧全总结

放缩法：常用于证明数列的不等式，需要注意左右式子的特点，比如有根号，或平方，或有理化。要针对不同的特点来处理，然后再放缩。举个例子：证明(3/2)*(5/4)*(7/6)*…*(2n+1)/2n>根号n+1，n?正整数，右边有根号，想平方，左边=(3/2*3/2)*(5/4*5/4)*…*(2n+1/2n)*(2n+1/2n)>(3/2*4/3)*(5/4*6/5)*…*(2n+1/2n)*(2n+2/2n+1)=n+1.于是不等式得证！构造法：构造数列{an+3}

a(n+1)+3=2(an+3)

设bn=an+3

则：b（n+1）=2bn

这是一个等比数列

bn=b1*2^(n-1)

b1=a1+3=4

所以bn=2^(n+1)

2^(n+1)=an+3

an=2^(n+1)-3

这就是数列的构造法

数列放缩法技巧的全部总结如下：

1、找到放缩的支点：在放缩时，找到一个合适的支点，使得放缩后的数列与原数列相似，同时易于证明或计算。逐步放缩：将数列逐步放缩，每次只对相邻两项或三项进行放缩，这样既可以保证放缩后的数列与原数列相似，又便于计算。

2、掌握放缩的度：在放缩时，要掌握好放缩的度，既不能过于宽松，也不能过于紧缩。合适的放缩程度可以帮助我们更好地证明或求解题目。利用不等式性质，在放缩时，要充分利用不等式的性质，如AM-GM不等式、Cauchy不等式等，以便得到所需的不等式结论。

3、结合其他方法：数列放缩法常常与其他数学方法结合使用，如构造函数法、数学归纳法等。在证明或求解题目时，要灵活运用各种方法，以达到更好的效果。细心验证，在完成放缩过程后，要细心验证所得结论是否正确。

数列放缩法的主要应用领域

1、不等式的证明：在证明不等式时，常常需要使用数列放缩法将数列进行适当的放大或缩小，以便得到所需的不等式结论。例如，可以利用放缩法证明AM-GM不等式、Cauchy不等式等。

2、数列求和：在求解数列的前n项和时，可以使用数列放缩法将数列转化为等差或等比数列，从而得到更简单的求和公式。例如，错位相减法、倒序相加法等都是常用的数列求和方法。极值问题，可以使用数列放缩法将数列转化为等差或等比数列，从而更容易地找到极值点。

3、近似计算：在某些情况下，可以使用数列放缩法将复杂数列近似为简单数列，从而得到近似的计算结果。例如，可以利用放缩法近似计算π的值、求解自然对数的底数e等。数值计算，在数值计算中，可以使用数列放缩法对数据进行适当的放大或缩小，以便得到更精确的计算果。