2006湖北高考数学理科平均分_2006湖北高考数学

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一、选择题: 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B 11.B 12.B

二、填空题: 13. π3 14. 11 15. 2400 16. π6

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.解: 由A+B+C=π, 得B+C2 = π2 －A2 , 所以有cosB+C2 =sinA2 .

cosA+2cosB+C2 =cosA+2sinA2 =1－2sin2A2 + 2sinA2

=－2(sinA2 － 12)2+ 32

当sinA2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cosB+C2取得最大值为32

18.解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依题意有: P(A1)=2×13×23 = 49, P(A2)=23 ×23 = 49 . P(B0)=12 ×12 = 14,

P(B1)=2×12 ×12 = 12 , 所求概率为: P=P(B0?A1)+P(B0?A2)+P(B1?A2)

= 14×49 + 14×49 + 12×49 = 49

(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,49) . P(ξ=0)=(59)3= 125729 , P(ξ=1)=C31×49×(59)2=100243

, P(ξ=2)=C32×(49)2×59 = 80243 , P(ξ=3)=( 49)3= 64729

ξ 0 1 2 3

P 125729

100243

80243

64729

ξ的分布列为:

数学期望: Eξ=3×49 = 43 .

19.解: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.

∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH= HBNB = 33AB22AB = 63 .

20.解: 椭圆方程可写为: y2a2 + x2b2 =1 式中a>b>0 , 且 a2－b2 =33a =32 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ y24 =1 (x>0,y>0). y=21－x2 (0<x<1) y '=－ 2x1－x2

设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=21－x02 , y '|x=x0= － 4x0y0 ,得切线AB的方程为:

y=－ 4x0y0 (x－x0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x=1x0 , y= 4y0 .

由OM→=OA→ +OB→得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

1x2 + 4y2 =1 (x>1,y>2)

(Ⅱ)| OM→|2= x2+y2, y2= 41－1x2 =4+ 4x2－1 ,

∴| OM→|2= x2－1+4x2－1+5≥4+5=9.且当x2－1=4x2－1 ,即x=3>1时,上式取等号.

故|OM→|的最小值为3.

21.解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= ax2+2－a(1－x)2 e－ax.

(ⅰ)当a=2时, f '(x)= 2x2(1－x)2 e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.

(ⅱ)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.

(ⅲ)当a>2时, 0<a－2a<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － a－2a, x2= a－2a .

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:

x (－∞, －a－2a)

(－a－2a,a－2a)

(a－2a,1)

(1,+∞)

f '(x) ＋ － ＋ ＋

f(x) ↗ ↘ ↗ ↗

f(x)在(－∞, －a－2a), (a－2a,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－a－2a,a－2a)为减函数.

(Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

(ⅱ)当a>2时, 取x0= 12 a－2a∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1

(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有1+x1－x >1且e－ax≥1,得

f(x)= 1+x1－xe－ax≥1+x1－x >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

22.解: (Ⅰ)由 Sn=43an－13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= 43a1－13×4+23 所以a1=2.

再由①有 Sn－1=43an－1－13×2n+23, n=2,3，4,…

将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= 43(an－an－1)－13×(2n+1－2n),n=2,3, …

整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= 43×(4n－2n)－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)

= 23×(2n+1－1)(2n－1)

Tn= 2nSn = 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n－1 － 12n+1－1)

所以, = 32 12i－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 32

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